9 replies to this topic

[naruto01]

Giải phương trình sau : $(x+1)^{x+1^{x+1^{...^{x+1}}}}=4$

[Mrnhan]

Giải phương trình sau : $(x+1)^{x+1^{x+1^{...^{x+1}}}}=4$

 

Đặt $y=x+1$ thì phương trình trở thành $y^{y^{y....^y}}= 4$

 

Nếu $y\leq 0$ thì không thỏa mãn phương trình đã cho vì $y^{y^{y....^y}}\leq 0$

 

Nếu $y>0$ 

 

Tiếp tục đặt $t=y^{y^{y....^y}}=4$ thì $y^t=4\to y=\sqrt{2}$

Edited by Mrnhan, 04-08-2014 - 23:45.

[naruto01]

Đặt $y=x+1$ thì phương trình trở thành $y^{y^{y....^y}}= 4$

 

Nếu $y\leq 0$ thì không thỏa mãn phương trình đã cho vì $y^{y^{y....^y}}\leq 0$

 

Nếu $0<y\leq1$ thì$y^{y^{y....^y}}\leq1<4$ không thỏa mãn.

 

Nếu $y>1$ thì $y^{y^{y....^y}} \to +\infty$ nên không thỏa mãn phương trình đã cho

 

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu $y>1$ thì $y^{y^{y....^y}} \to +\infty$ nên không thỏa mãn phương trình đã cho

 thì có xảy ra mà em làm ra rồi, x= $\sqrt{2}-1$

[Mrnhan]

 

Nếu $y>1$ thì $y^{y^{y....^y}} \to +\infty$ nên không thỏa mãn phương trình đã cho

 thì có xảy ra mà em làm ra rồi, x= $\sqrt{2}-1$

 

 

Đã sửa lại rồi, mình nhầm tý

[chanhquocnghiem]

Giải phương trình sau : $(x+1)^{x+1^{x+1^{...^{x+1}}}}=4$

 

 

Đặt $y=x+1$ thì phương trình trở thành $y^{y^{y....^y}}= 4$

 

Nếu $y\leq 0$ thì không thỏa mãn phương trình đã cho vì $y^{y^{y....^y}}\leq 0$

 

Nếu $y>0$ 

 

Tiếp tục đặt $t=y^{y^{y....^y}}=4$ thì $y^t=4\to y=\sqrt{2}$

Vẫn còn nhầm ! Vì nếu thay $x=\sqrt{2}-1$ vào thì $2$ vế không bằng nhau (có thể dùng máy tính kiểm tra)

Theo mình, bài này vô nghiệm !

Edited by chanhquocnghiem, 05-08-2014 - 19:43.

[naruto01]

Vẫn còn nhầm ! Vì nếu thay $x=\sqrt{2}-1$ vào thì $2$ vế không bằng nhau (có thể dùng máy tính kiểm tra)

Theo mình, bài này vô nghiệm !

=)))) bạn có ấn máy tính được tới vô cùng hay không mà dám bảo không bằng :3

[chanhquocnghiem]

=)))) bạn có ấn máy tính được tới vô cùng hay không mà dám bảo không bằng :3

Điều này rất dễ chứng minh :

Ta có $m_{1}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}< \sqrt{2}^2=2$

$m_{2}=\sqrt{2}^{m_{1}}< \sqrt{2}^2=2$

$m_{3}=\sqrt{2}^{m_{2}}< \sqrt{2}^2=2$

$m_{4}=\sqrt{2}^{m_{3}}< \sqrt{2}^2=2$

............................................................

............................................................

Cứ tiếp tục như thế, vế trái luôn luôn nhỏ hơn $2$.

[hxthanh]

Giải phương trình sau : $(x+1)^{x+1^{x+1^{...^{x+1}}}}=4$

Nếu vế trái là tháp lũy thừa vô hạn $y^{y^{{\cdot}^{\cdot^\cdot}}}$ thì nó được xác định bởi hàm Lambert như sau:

 

Hàm Lambert $W(x)$ được định nghĩa là hàm ngược của $f(W)=We^W$

Khi đó ta có:

$y^{y^{{\cdot}^{\cdot^\cdot}}}=\dfrac{W(-\ln y)}{-\ln y}$

 

Người ta đã khảo sát hàm này và có được:

Tập xác định $(0, 1.444667...)$.

Tập giá trị $(0,e]$

 

Vì vậy số $4$ ở vế phải nói chung là chẳng có gì liên quan!

[Mrnhan]

Điều này rất dễ chứng minh :

Ta có $m_{1}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}< \sqrt{2}^2=2$

$m_{2}=\sqrt{2}^{m_{1}}< \sqrt{2}^2=2$

$m_{3}=\sqrt{2}^{m_{2}}< \sqrt{2}^2=2$

$m_{4}=\sqrt{2}^{m_{3}}< \sqrt{2}^2=2$

............................................................

............................................................

Cứ tiếp tục như thế, vế trái luôn luôn nhỏ hơn $2$.

 

Thế mình làm như thế này cũng đúng à:

 

$$0=(1-1)+(1-1)+...=1+(-1+1)+(-1+1)+...=1\Leftrightarrow 0=1$$

[chanhquocnghiem]

Đặt $y=x+1$ thì phương trình trở thành $y^{y^{y....^y}}= 4$

 

Nếu $y\leq 0$ thì không thỏa mãn phương trình đã cho vì $y^{y^{y....^y}}\leq 0$

 

Nếu $y>0$ 

 

Tiếp tục đặt $t=y^{y^{y....^y}}=4$ thì $y^t=4\to y=\sqrt{2}$

 

Thế mình làm như thế này cũng đúng à:

 

$$0=(1-1)+(1-1)+...=1+(-1+1)+(-1+1)+...=1\Leftrightarrow 0=1$$

Hai cái này khác nhau : Cái tháp lũy thừa $y^{y^{y....^y}}$ hội tụ, còn cái chuỗi $1-1+1-1+...$ lại không hội tụ.

Cái sai sót của bạn là khi đặt $t=y^{y^{y....^y}}=4$, bạn đã mặc nhiên cho rằng $y^{y^{y....^y}}=4$, cũng giống như đã đặt điều kiện $y^{y^{y....^y}}=4$

Như vậy sau khi tìm ra $y=\sqrt{2}$ thì bắt buộc phải xem lại nó có thỏa mãn ĐK đã đặt ra hay không.

Mà như mình đã chứng minh, khi $y=\sqrt{2}$ thì tháp lũy thừa đó luôn nhỏ hơn $2$ (khi số tầng tăng lên vô hạn thì nó hội tụ về $2$).Vậy $y^{y^{y....^y}}< 4$ khi $y=\sqrt{2}$ (không thỏa mãn ĐK đặt ra) nên nghiệm $y=\sqrt{2}$ phải bị loại.