Chủ đề này có 2 trả lời

[fifa]

Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt và $a,b,c\in [0,2]$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

[Bui Ba Anh]

Trước hết,ta chứng minh bổ đề: Với x,y là 2 số thực dương,ta có:$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$

Thật vậy,áp dụng BDDT AM-GM,ta có:$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{2}{\frac{(x+y)^{2}}{4}}=\frac{8}{(x+y)^{2}}$

dấu "=" xảy ra <=> x=y,bổ đề được chứng minh

Mặt khác,giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$ =>$c-a\leq 2-0=2=>\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq \frac{1}{4}$

áp dụng bổ đề và kết quả trên,ta có 

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq \frac{8}{(a-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}= \frac{9}{(c-a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

dấu "="xảy ra <=>(a;b;c)=(0;1;2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 06-08-2014 - 09:21

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt và $a,b,c\in [0,2]$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Cách khác: Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c$

Khi đó $0<a-c\leqslant 2$

Áp dụng AM-GM ta có 

     $\frac{1}{(a-b)^2}+(a-b)+(a-b)\geqslant 3$

     $\frac{1}{(b-c)^2}+(b-c)+(b-c)\geqslant 3$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(a-b)^2}\geqslant 6-2(a-b)-2(b-c)+\frac{1}{(c-a)^2}=6-2(a-c)+\frac{1}{(a-c)^2}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $6-2(a-c)+\frac{1}{(a-c)^2}\geqslant \frac{9}{4}$

BĐT trên luôn đúng với $a-c \leqslant 2$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị