$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$
$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$
#1
Đã gửi 05-08-2014 - 16:02
#2
Đã gửi 05-08-2014 - 17:20
$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$
Điều kiện xác định:$\left\{\begin{matrix}x^2+x-1\geq 0 & & \\ 1+x-x^2\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức cô si dạng sau $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$ có
$\sqrt{(x^2+x-1).1}\leq \frac{x^2+x-1+1}{2}=\frac{x^2+x}{2}$
$\sqrt{(1+x-x^2).1}\leq \frac{2+x-x^2}{2}$
Từ đó có:Vế trái $\leq \frac{x^2+x+2+x-x^2}{2}=x+1$
Ta chứng minh:$x^2-x+2\geq x+1$
$<=>x^2-2x+1\geq 0$
$<=>(x-1)^2\geq 0$(đúng)
mà $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{1+x-x^2}=x^2-x+2$
suy ra $x=1$(thỏa mãn điều kiện)
- Tran Cong Minh, A4 Productions, ChiLanA0K48 và 3 người khác yêu thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTại đây
#3
Đã gửi 06-08-2014 - 10:52
Cảm ơn bạn rất nhiều. Bạn còn có cách giải nào khác không?
#4
Đã gửi 06-08-2014 - 12:00
Cảm ơn bạn rất nhiều. Bạn còn có cách giải nào khác không?
$$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x - 1} - 1 + \sqrt {1 + x - {x^2}} - 1 = x\left( {x - 1} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1} + 1}} + \frac{{{x^2} - x}}{{\sqrt {1 + x - {x^2}} + 1}} - x\left( {x - 1} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1} + 1}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + x - {x^2}} + 1}} - x\left( {x - 1} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1} + 1}} + \frac{x}{{\sqrt {1 + x - {x^2}} + 1}} - x} \right) = 0$$
$$ \Rightarrow x = 1$$
- Tran Cong Minh, queens9a, SuperReshiram và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh