$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$
$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$
#1
Posted 05-08-2014 - 16:02
#2
Posted 05-08-2014 - 17:20
$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$
Điều kiện xác định:$\left\{\begin{matrix}x^2+x-1\geq 0 & & \\ 1+x-x^2\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức cô si dạng sau $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$ có
$\sqrt{(x^2+x-1).1}\leq \frac{x^2+x-1+1}{2}=\frac{x^2+x}{2}$
$\sqrt{(1+x-x^2).1}\leq \frac{2+x-x^2}{2}$
Từ đó có:Vế trái $\leq \frac{x^2+x+2+x-x^2}{2}=x+1$
Ta chứng minh:$x^2-x+2\geq x+1$
$<=>x^2-2x+1\geq 0$
$<=>(x-1)^2\geq 0$(đúng)
mà $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{1+x-x^2}=x^2-x+2$
suy ra $x=1$(thỏa mãn điều kiện)
- Tran Cong Minh, A4 Productions, ChiLanA0K48 and 3 others like this
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTại đây
#3
Posted 06-08-2014 - 10:52
Cảm ơn bạn rất nhiều. Bạn còn có cách giải nào khác không?
#4
Posted 06-08-2014 - 12:00
Cảm ơn bạn rất nhiều. Bạn còn có cách giải nào khác không?
$$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x - 1} - 1 + \sqrt {1 + x - {x^2}} - 1 = x\left( {x - 1} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1} + 1}} + \frac{{{x^2} - x}}{{\sqrt {1 + x - {x^2}} + 1}} - x\left( {x - 1} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1} + 1}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + x - {x^2}} + 1}} - x\left( {x - 1} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1} + 1}} + \frac{x}{{\sqrt {1 + x - {x^2}} + 1}} - x} \right) = 0$$
$$ \Rightarrow x = 1$$
- Tran Cong Minh, queens9a, SuperReshiram and 1 other like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users