3 replies to this topic

[Tran Cong Minh]

$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$

[Mikhail Leptchinski]

$\sqrt{x^{2}+x-1} + \sqrt{1+x-x^{2}} = x^{2}-x+2$

Điều kiện xác định:$\left\{\begin{matrix}x^2+x-1\geq 0 & & \\ 1+x-x^2\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức cô si dạng sau $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$ có

$\sqrt{(x^2+x-1).1}\leq \frac{x^2+x-1+1}{2}=\frac{x^2+x}{2}$

$\sqrt{(1+x-x^2).1}\leq \frac{2+x-x^2}{2}$

Từ đó có:Vế trái $\leq \frac{x^2+x+2+x-x^2}{2}=x+1$

Ta chứng minh:$x^2-x+2\geq x+1$

                  $<=>x^2-2x+1\geq 0$

                  $<=>(x-1)^2\geq 0$(đúng)

mà $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{1+x-x^2}=x^2-x+2$

suy ra $x=1$(thỏa mãn điều kiện)

[Tran Cong Minh]

Cảm ơn bạn rất nhiều. Bạn còn có cách giải nào khác không?

[A4 Productions]

Cảm ơn bạn rất nhiều. Bạn còn có cách giải nào khác không?

$$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x - 1}  - 1 + \sqrt {1 + x - {x^2}}  - 1 = x\left( {x - 1} \right)$$

$$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1}  + 1}} + \frac{{{x^2} - x}}{{\sqrt {1 + x - {x^2}}  + 1}} - x\left( {x - 1} \right) = 0$$

$$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1}  + 1}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + x - {x^2}}  + 1}} - x\left( {x - 1} \right) = 0$$

$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x - 1}  + 1}} + \frac{x}{{\sqrt {1 + x - {x^2}}  + 1}} - x} \right) = 0$$

$$ \Rightarrow x = 1$$