Chủ đề này có 3 trả lời

[megamewtwo]

a) Cho x;y;z dương sao cho : $x+y+z= 3$

tìm MIN của : $P= x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{xy+yz+xz}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}$

b) Cho x;y;z dương sao cho $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$

CMR :$\frac{1}{x^{2}-2x+3}+\frac{1}{y^{2}-y+3}+\frac{1}{z^{2}-z+3}\leq 1$

[Bui Ba Anh]

a) $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\sum a.\sum a^{2}=\sum (a^{3}+ab^{2})+\sum a^{2}b\geq \sum 2a^{2}b+\sum a^{2}b=3\sum a^2b$

=>$\sum a^2\geq \sum a^2b=> P\geq \sum a^2+\frac{\sum ab}{\sum a^2}\geq \sum a^{2}+\frac{9-\sum a^{2}}{2\sum a^{2}}$

Đặt $\sum a^{2}=t=>t\geq 3=> P\geq t+\frac{9-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}-\frac{1}{2}\geq 3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4$

Min P=4 <=> a=b=c=1

[hoangtubatu955]

Ngoài các là của bên Bui Ba Anh thì câu a ta có thể giải quyết nhẹ nhàng nhờ BĐT phụ:
$3(x^2y+y^2z+z^2z) \le (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)$

[hoangtubatu955]

Câu 2, từ giả thiết cho ta tồn tại $a,b,c$ sao cho:
$x=\frac{b+c}{a}; y=\frac{c+a}{b}; z=\frac{a+b}{c}$. Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được một bất đẳng thức đồng bậc.
Mọi chuyện đến đây các bạn chắc tự giải quyết được rồi.