Chủ đề này có 4 trả lời

[Bui Ba Anh]

cho các số thực $x;y;z$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x;y;z\in (0;1)\\xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$.Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

[25 minutes]

cho các số thực $x;y;z$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x;y;z\in (0;1)\\xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$.Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

Ta chứng minh được

         $\frac{x}{1-x^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}x^2}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{1-x^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[1110004]

cho các số thực $x;y;z$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x;y;z\in (0;1)\\xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$.Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

Ta có : $\frac{x}{1-x^{2}}\geq 3x-\frac{\sqrt{3}}{2}$   (với $x\in \left ( 0;1 \right )$ )làm tương tự với $2$ BĐT con lại rồi cộng theo từng vế ta được : $P\geq 3(x+y+z)-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Mà $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=3\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{3}$ vì vậy $P\geq 3{\sqrt{3}}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

[Gioi han]

cho các số thực $x;y;z$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x;y;z\in (0;1)\\xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$.Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

Đặt $x= \tan \frac{A}{2}, y=\tan \frac{B}{2}, z= \tan \frac{C}{2}$ ta có $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2}=1$

$\Rightarrow A+B+C= \pi$

$\Rightarrow P= \frac{1}{2} (\tan A +\tan B+\tan C) \geq 3\sqrt{3}$( BĐT trong tam giác)

Dấu = xảy ra khi $A=B=C= \frac{\pi}{3}$ hay $x=y=z=\frac{\sqrt 3}{3}$

[phamquanglam]

cho các số thực $x;y;z$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x;y;z\in (0;1)\\xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$.Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

Cho thêm cách nữa này!

Ta xét: $P=\sum \frac{x}{1-x^{2}}=\sum \frac{x^{2}}{x(1-x^{2})}$

Xét: $f_{(t)}=t(1-t^{2})$ Với $t\in (0;1)$

$\Rightarrow f_{(t)}'=-3t^{2}+1=0$ $\Rightarrow x= \frac{1}{\sqrt{3}}\in (0;1)$

Vẽ bảng biến thiên! (Mình ko biết vẽ trên này!!!!      )

Ta thấy điểm cực trị của hàm số ở điểm $\frac{2}{3\sqrt{3}}\Rightarrow f_{(t)}\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Lần lượt thay vào $P$ ta thu được:

$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$