Cho ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn, qua trọng tâm các tam giác $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $DE,EA,AB,BC,CD$. Chứng minh rằng các đường thẳng đó đồng quy.
Chứng minh rằng các đường thẳng vuông góc với các cạnh của ngũ giác đồng quy
Bắt đầu bởi luongkylinh, 07-08-2014 - 21:25
#2
Đã gửi 09-08-2014 - 17:05
Near Ryuzaki
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
$\mathbb{NKT}$
Cho ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn, qua trọng tâm các tam giác $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $DE,EA,AB,BC,CD$. Chứng minh rằng các đường thẳng đó đồng quy.
Chọn $H$ sao cho $\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )$
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Ta có :
$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right ) -\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )=\frac{-1}{3}.\left ( \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )=\frac{-2}{3}\overrightarrow{OK}$ ( do $K$ là trung điểm $DE$)
lại có :$HG//OK$ nên đường thẳng đi qua $G$ và vuông góc với $DE$ phải đi qua $H.$
Chứng minh tương tự cho các đường còn lại!
- davidjame yêu thích
#3
Đã gửi 18-08-2014 - 20:52
davidjame
-
- Thành viên
-
- 8 Bài viết
Lính mới
Cho ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn, qua trọng tâm các tam giác $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $DE,EA,AB,BC,CD$. Chứng minh rằng các đường thẳng đó đồng quy.
Chọn $H$ sao cho $\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )$
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Ta có :
$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right ) -\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )=\frac{-1}{3}.\left ( \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} \right )=\frac{-2}{3}\overrightarrow{OK}$ ( do $K$ là trung điểm $DE$)
lại có :$HG//OK$ nên đường thẳng đi qua $G$ và vuông góc với $DE$ phải đi qua $H.$
Chứng minh tương tự cho các đường còn lại!
Bài này có thể mở rộng cho cả 10 tam giác tạo bởi ngũ giác đó nhé 
Vd: tam giác $ACD$ và cạnh $BE$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
