Chủ đề này có 4 trả lời

[Super Fields]

$$\color{orange}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{cho}   a;b;x;y \geq 0 \text{và}  x+y=1 \\ \text{Chứng minh:}    ax+by \geq a^xb^y \\ \hline \end{array}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 09-08-2014 - 15:13

[Mrnhan]

$$\color{orange}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{cho}   a;b;x;y \geq 0 \\ \text{Chứng minh:}    ax+by \geq a^xb^y \\ \hline \end{array}}$$

 

Cái này đúng ko nếu $x=y=0$

[Super Fields]

Cái này đúng ko nếu $x=y=0$

  Fixed

[Mrnhan]

$$\color{orange}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{cho}   a;b;x;y \geq 0 \text{và}  x+y=1 \\ \text{Chứng minh:}    ax+by \geq a^xb^y \\ \hline \end{array}}$$

 

Lời giải.

 

Có thể giải theo cách này cũng được.

 

Đặt $x=\frac{m}{n},\, y=\frac{p}{q}$ với  $m,n,p,q\in \mathbb{N}$ và $n>m, q>p$ thỏa mãn $\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=1\Leftrightarrow mq+np=nq$

 

Bất đẳng thức tương đương với: $$\frac{am}{n}+\frac{bp}{q}\geq\sqrt[n]{a^m}\, \sqrt[q]{b^p}$$

 

$$amq+bpn\geq nq \sqrt[n]{a^m}\, \sqrt[q]{b^p}=\left ( mq+np \right )\sqrt[n]{a^m}\, \sqrt[q]{b^p}$$

 

Đến đây áp dụng BĐT AM-GM:

 

$$amq+bpn=\underbrace{a+a+...+a}_{\text{mq số a}}+\underbrace{b+b+...+b}_{\text{np số b}}\geq \left ( mq+np \right )\sqrt[mq+np]{a^{mq}b^{np}}$$

 

$$=\left ( mq+np \right )\sqrt[nq]{a^{mq}b^{np}}=\left ( mq+np \right ) \sqrt[n]{a^m}\, \sqrt[q]{b^p}$$

[PolarBear154]

$$\color{orange}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{cho}   a;b;x;y \geq 0 \text{và}  x+y=1 \\ \text{Chứng minh:}    ax+by \geq a^xb^y \\ \hline \end{array}}$$

Mình nghĩ bài này phải cho x,y hữu tỉ nữa cơ, và nếu không có ĐK đó thì cũng không giải được theo cách của Mr. Nhan

Bài toán tổng quát là như này: 

Cho n số hữu tỉ dương $\alpha _i,i=\overline{1,n}$ thỏa mãn: $\sum_{i=1}^{n}\alpha _i=1$. Khi đó, với mọi $a_i\geq 0,i=\overline{1,n}$ ta có BĐT sau:

$\sum_{i=1}^{n}\alpha _ia_i\geq \prod_{i=1}^{n}a_i^{\alpha _i}$

Bài toán được chứng minh bằng AM-GM.