Box đại học sao "cô quạnh" thế nhỉ? "Tự biên tự diễn" thôi 
Ai có cách hay hơn thì cứ gửi hoặc có bài nào liên quan mà có nhiều cách cứ gửi lên 
Giải phương trình vi phân $$xdx+ydy=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$$
Hướng dẫn giải
Cách 1. Cách này thường được "ưu tiên" sử dụng khi mới học vi phân.
$$xdx+ydy=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}\Leftrightarrow \left ( x+\frac{y}{x^2+y^2} \right )dx+\left ( y-\frac{x}{x^2+y^2} \right )dy=0$$
Dễ dàng nhận thấy đây là dạng toàn phần(nếu không phải dạng toàn phần từ tìm thừa số vi phân đưa về dạng toàn phần ) vì $$\frac{\partial }{\partial y}\left ( x+\frac{y}{x^2+y^2}\right )=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( y- \frac{x}{x^2+y^2}\right )$$
Ta thường chọn tọa độ cho bài toán đơn giản, ví dụ $(x,y)=(1,0)$ chẳng hạn, có số $0$ nó sẽ xóa bớt đi phần nào.
$$\int_{1}^{x}tdt+\int_{0}^{y}\left ( t-\frac{x}{x^2+t^2} \right )dt=C' \Leftrightarrow \frac{x^2-1}{2}+\frac{y^2}{2}-\arctan\frac{y}{x}=C'$$
Vì thừa số là bất kỳ nên ta có thể chọn lại cho kết quả nó gọn lại
Vậy $$ x^2+y^2=2\arctan\frac{y}{x}+C$$
Cách 2.
Ta có
$$\bullet \,\, xdx+ydy=\frac{1}{2}d(x^2)+\frac{1}{2}d(y^2)=\frac{1}{2}d\left ( x^2+y^2 \right )$$
$$\bullet \,\, \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\frac{\frac{dy}{x}-\frac{ydx}{x^2}}{1+\left ( \frac{y}{x} \right )^2}=\frac{\frac{dy}{x}+yd\left ( \frac{1}{x} \right )}{1+\left ( \frac{y}{x} \right )^2}=\frac{d\left ( \frac{y}{x} \right )}{1+\left ( \frac{y}{x} \right )^2}=d\left ( \arctan\frac{y}{x} \right )$$
Vậy $$\frac{1}{2}d\left ( x^2+y^2 \right )=d\left ( \arctan\frac{y}{x} \right )\Leftrightarrow x^2+y^2=2\arctan\frac{y}{x}+C$$
Cách 3. Cách này ít dùng hơn vì thường phức tạp, hiếm gặp,.... đó là chuyển về dạng tọa độ cực hoặc tham số lượng giác
Đặt $$\left\{\begin{matrix}x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi \end{matrix}\right.\,\, \text{với}\,\, r=r(\varphi)$$
$$\bullet \,\, xdx+ydy=r\cos\varphi \left ( r'\cos\varphi-r\sin\varphi \right )+r\sin\varphi\left ( r'\sin\varphi+r\cos\varphi \right )=rr'$$
$$\bullet \,\, \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\frac{r\cos\varphi\left ( r'\sin\varphi+r\cos\varphi \right )-r\sin\varphi\left ( r'\cos\varphi-r\sin\varphi \right )}{r^2}=1$$
Vậy $$rr'=1\Leftrightarrow 2rdr=2d\varphi\Leftrightarrow r^2=2\varphi+C$$
P.s: So sánh kết quả của 3 cách làm thấy giống nhau hết
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 10-08-2014 - 00:28
