$$\color{plum}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{Cho} a;b;c \in \mathbb{R}^+ \text{và} a+b+c=1 \\ \text{Chứng minh:} \sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^2\\ \hline \end{array}}$$
Chứng minh: $$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^2$$
#1
Đã gửi 10-08-2014 - 09:58
#2
Đã gửi 10-08-2014 - 10:43
$$\color{plum}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{Cho} a;b;c \in \mathbb{R}^+ \text{và} a+b+c=1 \\ \text{Chứng minh:} \sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^2\\ \hline \end{array}}$$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq \dfrac{(\sum a\sqrt{a})^2}{a^{2}(4b^{2}+1)+b^{2}(4c^{2}+1)+c^{2}(4a^{2}+1)}$
Vậy ta cần chứng minh $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 1$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq (a+b+c)^{2}$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ac)(a^{2}+b^{2}+c^{2} +2ab+2bc+2ca)$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(ab+bc+ca)^{2}$
$\Leftrightarrow 0 \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8abc(a+b+c)$
Hiển nhiên BDT cuối đúng,từ đó ta có đpcm.
- Super Fields, Viet Hoang 99, PolarBear154 và 2 người khác yêu thích
Delete all!
#3
Đã gửi 10-08-2014 - 20:22
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq \dfrac{(\sum a\sqrt{a})^2}{a^{2}(4b^{2}+1)+b^{2}(4c^{2}+1)+c^{2}(4a^{2}+1)}$
Vậy ta cần chứng minh $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 1$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq (a+b+c)^{2}$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ac)(a^{2}+b^{2}+c^{2} +2ab+2bc+2ca)$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(ab+bc+ca)^{2}$
$\Leftrightarrow 0 \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8abc(a+b+c)$
Hiển nhiên BDT cuối đúng,từ đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi nào vậy?
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#4
Đã gửi 10-08-2014 - 21:24
#5
Đã gửi 13-11-2016 - 09:38
Dấu bằng xảy ra khi h
Mình cũng chả biết dấu $=$ xảy ra khi nào nữa!
Dấu bằng xảy ra khi hai số =0 một số bằng 1
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh