Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Chứng minh: $$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^2$$

Bắt đầu bởi Torido Yuki, 10-08-2014 - 09:58

Please log in to reply

Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Torido Yuki

Đã gửi 10-08-2014 - 09:58

Lính mới

Thành viên
1 Bài viết

$$\color{plum}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{Cho} a;b;c \in \mathbb{R}^+ \text{và} a+b+c=1 \\ \text{Chứng minh:} \sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^2\\ \hline \end{array}}$$

Super Fields, PolarBear154, chardhdmovies và 1 người khác yêu thích

#2
phata1pvd

Đã gửi 10-08-2014 - 10:43

Binh nhất

Thành viên
29 Bài viết

$$\color{plum}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{Cho} a;b;c \in \mathbb{R}^+ \text{và} a+b+c=1 \\ \text{Chứng minh:} \sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^2\\ \hline \end{array}}$$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq \dfrac{(\sum a\sqrt{a})^2}{a^{2}(4b^{2}+1)+b^{2}(4c^{2}+1)+c^{2}(4a^{2}+1)}$

Vậy ta cần chứng minh $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 1$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ac)(a^{2}+b^{2}+c^{2} +2ab+2bc+2ca)$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(ab+bc+ca)^{2}$

$\Leftrightarrow 0 \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8abc(a+b+c)$

Hiển nhiên BDT cuối đúng,từ đó ta có đpcm.

Super Fields, Viet Hoang 99, PolarBear154 và 2 người khác yêu thích

Delete all!

#3
Viet Hoang 99

Đã gửi 10-08-2014 - 20:22

$\textbf{Trương Việt Hoàng}$

Điều hành viên THPT
2291 Bài viết

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq \dfrac{(\sum a\sqrt{a})^2}{a^{2}(4b^{2}+1)+b^{2}(4c^{2}+1)+c^{2}(4a^{2}+1)}$

Vậy ta cần chứng minh $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 1$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ac)(a^{2}+b^{2}+c^{2} +2ab+2bc+2ca)$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(ab+bc+ca)^{2}$

$\Leftrightarrow 0 \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8abc(a+b+c)$

Hiển nhiên BDT cuối đúng,từ đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy?

1- Tính toán http://www.wolframalpha.com

2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/

4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!

$\color{Red}{\large{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \blacksquare&\color{Blue}{\star\star\star\star\star}\:\mathcal{VMF}\:\color{Blue}{\star\star\star\star\star}&\blacksquare\\ \hline \color{Black}{\bigstar} &\begin{array}{|ccc|} \hline \mathfrak{V}&\mathfrak{M}&\mathfrak{F}\\ \mathfrak{M}&\boxed{\color{Black}{\mathcal{Viet~ \mathcal{Hoang}~\textrm{99}}}}&\mathfrak{M}\\ \mathfrak{F}&\mathfrak{M}&\mathfrak{V}\\ \hline \end{array} &\color{Black}{\bigstar}\\ \hline \blacksquare&\color{Blue}{\star\star\star\star\star}\:\mathcal{VMF}\:\color{Blue}{\star\star\star\star\star}&\blacksquare\\ \hline \end{array}}}$