Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangson2598]

Cho abc=1,a, b, c>0. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+ac+bc)$

[huyphamvan]

Sử dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$. ta có:
$a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc}=3$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$a^2+b^2+c^2 +3 \geq 2(ab+bc+ca) \\\Leftrightarrow   a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$
Sử dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta được:
$a^2+b^2+c^2+abc+abc+1 \geq a^2+b^2+c^2+3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2} = a^2+b^2+c^2+ \dfrac{3abc}{\sqrt[3]{abc}} \geq a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}$
Ta cần chứng minh:
$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ca)$
Đây chính là BĐT $\text{Schur}$ bậc 3.

[Bui Ba Anh]

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ và $Schur$ cho bậc $3$,ta có

$\sum a^{2}+a+b+c-2\sum ab\geq \sum a^{2}+(abc)^{\frac{2}{3}}-2\sum ab\geq \sum (ab)^\frac{2}{3}(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})-2\sum ab=\sum a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})^{2}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ $Q.E.D$

chuẩn thì ngại gì like