Chủ đề này có 3 trả lời

[Super Fields]

Bài toán:

 

Cho $\Delta ABC$. $M$ nằm trong $\Delta ABC$. Chứng minh rằng: $$MA+MB+MC+Min\begin{Bmatrix} MA,MB,MC \end{Bmatrix} < BC+CA+AB$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 14-08-2014 - 15:31

[bachhammer]

Ta có thể quy về chứng minh kết quả mạnh hơn: $\frac{4}{3}(MA+MB+MC)<AB+BC+CA$

[bachhammer]

À, hơi nhầm tí...., không thể xử lí kiểu này được

[Bui Ba Anh]

Vì $M$ nằm trong tam giác $ABC$ nên tồn tại $\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} \end{matrix}\right.=>(a+b+c)\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} =>\overrightarrow{AM}=b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}$

Theo bất đẳng thức độ dài $vecto$ ta có $AM<aAB+cAC$ tương tự vậy $BM<cBC+aBA;CM<aCA+bBC$ $(1)$

Không mất tổng quát giả sử$a\leq b\leq c;AB\geq AC$=>

Nếu $AM$ là cạnh nhỏ nhất thì hiển nhiên $min\left \{ MA,MB,MC \right \}< aBC+bAC+cAB$

Nếu $AM$ không nhỏ nhất thì tồn tại $MB;MC$ cạnh nhỏ hơn $AM$ nên cũng có điều trên $(2)$

Cộng vế theo vế của $(1)(2)$ và chú ý $a+b+c=1$ ta có $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 14-08-2014 - 20:31