Chủ đề này có 1 trả lời

[quanghao98]

Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $A',B',C',D$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,CDA,DAB ,ABC$

a)Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và BB' cùng nằm trên một mặt phẳng

b)Gọi I là giao điểm của AA' và BB' chứng minh rằng $\dfrac{IA'}{IA}=\dfrac{IB'}{IB}=\dfrac{1}{3}$

[thanhthanhtoan]

Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $A',B',C',D$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,CDA,DAB ,ABC$

a)Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và BB' cùng nằm trên một mặt phẳng

b)Gọi I là giao điểm của AA' và BB' chứng minh rằng $\dfrac{IA'}{IA}=\dfrac{IB'}{IB}=\dfrac{1}{3}$

 

Ở bài này hình như cho $C', D'$ là trong tâm của 2 tam giác kia là thừa.

a)

Gọi $E$ là trung điểm $CD$, $A'$ là trọng tâm $\Delta BCD => A'\in BE$; $B'$ là trọng tâm $CDA=> B'\in AE$

Ta dễ dàng thấy:

$\left\{ \begin{array}{l} AA'\subset (ABE) \\ BB'\subset (ABE) \end{array} \right.\Rightarrow$ $AA'$ và $BB'$ cùng nằm trong 1 măt phẳng là $(ABE)$

 

b)

Xét $\Delta EAB$ có $\frac{EA'}{EB}= \frac{EB'}{EA}=\frac{1}{3}$ (do $A'$ và $B'$ lần lượt là trọng tâm của $\Delta BCD$ và $\Delta CDA$)

$=> A'B' || AB$ (theo định lý đảo Talet)

Vì thế theo hệ quả Talet ta có luôn $\frac{EA'}{EB}= \frac{EB'}{EA}=\frac {A'B'}{AB}=\frac{1}{3} (1)$

Áp dụng Talet trong $\Delta IAB$ có $A'B' || AB$ (vẽ riêng hình ra ngoài, bạn cho $A'B'$ nằm trong $\Delta IAB$ cho dễ áp dụng định lý Talet), ta có:

$\frac{IA'}{IA}=\frac{IB'}{IB}=\frac{A'B'}{AB} (2)$

 

Từ $(1); (2) => \frac{IA'}{IA}=\frac{IB'}{IB}=\frac{A'B'}{AB} = \frac {1}{3}$