Chủ đề này có 8 trả lời

[Viet Hoang 99]

$1)$ Cho tam giác $ABC$. Phân giác $AD;BE;CF$.

Cmr: Nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$ thì tam giác $ABC$ đều.

 

$2)$ Cho tam giác $ABC$. $A'\in BC;B'\in CA;C'\in AB$ sao cho $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$. 

Cmr: $\frac{BA'}{BC}=\frac{CB'}{CA}=\frac{AC'}{AB}$

(Không biết có chiều ngược lại không?)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 21-08-2014 - 21:57

[Vo Sy Nguyen]

$2)$ Cho tam giác $ABC$. $A'\in BC;B'\in CA;C'\in AB$ sao cho $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$. 

Cmr: $\frac{BA'}{BC}=\frac{CB'}{CA}=\frac{AC'}{AB}$

(Không biết có chiều ngược lại không?)

 

Giả sử  

$\overrightarrow{AC'}=a\overrightarrow{AB}$;

$\overrightarrow{BA'}=b\overrightarrow{BC}$;

$\overrightarrow{CB'}=c\overrightarrow{CA}$

Ta có

$\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB'}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{CB'}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{BC}+c\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow (a-c)\overrightarrow{AB}+(b-c)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$

Vì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ không cùng phương nên 

$a-c=b-c=0\Rightarrow a=b=c$

Ta có $\frac{BA'}{BC}=\frac{CB'}{CA}=\frac{AC'}{AB}(=a=b=c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 21-08-2014 - 23:41

[Vo Sy Nguyen]

$2)$ Cho tam giác $ABC$. $A'\in BC;B'\in CA;C'\in AB$ sao cho $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$. 

Cmr: $\frac{BA'}{BC}=\frac{CB'}{CA}=\frac{AC'}{AB}$

(Không biết có chiều ngược lại không?)

 

Chiều đảo:

Đặt $\frac{BA'}{BC}=\frac{CB'}{CA}=\frac{AC'}{AB}=x$

Ta có 

$x\overrightarrow{BC}+x\overrightarrow{CA}+x\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{CB'}+\overrightarrow{AC'}$

$=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC'}$

$=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$

đến đây ta có đpcm

[Vo Sy Nguyen]

$1)$ Cho tam giác $ABC$. Phân giác $AD;BE;CF$.

Cmr: Nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$ thì tam giác $ABC$ đều.

 

Ta sẽ sử dụng tỉ số đã được chứng minh ở bài 2, áp dụng vào bài 1 là ra

[Kool LL]

$1)$ Cho tam giác $ABC$. Phân giác $AD;BE;CF$.

Cmr: Nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$ thì tam giác $ABC$ đều.

 

$\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$$=\left(\frac{DB}{BC}\overrightarrow{AC}+\frac{DC}{BC}\overrightarrow{AB}\right)+\left(\frac{EC}{AC}\overrightarrow{BA}+\frac{EA}{AC}\overrightarrow{BC}\right)+\left(\frac{FA}{AB}\overrightarrow{CB}+\frac{FB}{AB}\overrightarrow{CA}\right)$

 

     $=\left(\frac{DC}{BC}-\frac{EC}{AC}\right).\overrightarrow{AB}+\left(\frac{DB}{BC}-\frac{FB}{AB}\right).\overrightarrow{AC}+\left(\frac{EA}{AC}-\frac{FA}{AB}\right).\overrightarrow{BC}$   ;   mà $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

 

     $=\left(\frac{DC}{BC}+\frac{FA}{AB}-1\right).\overrightarrow{AB}+\left(\frac{DB}{BC}+\frac{EA}{AC}-1\right).\overrightarrow{AC}$

 

$\Leftrightarrow\frac{DC}{BC}+\frac{FA}{AB}=1=\frac{DB}{BC}+\frac{EA}{AC}$   (vì $\overrightarrow{AB}\ ,\ \overrightarrow{AC}$ khác phương)

 

$\Leftrightarrow \frac{AF}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{CE}{CA}\ ;\ \frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BA}=\frac{CD}{CB}$

 

$\Leftrightarrow\frac{EA}{EC}=\frac{FB}{FA}=\frac{DC}{DB}$

 

$\Leftrightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{CB}{CA}=\frac{AC}{AB}$ (Áp dụng t/c tia phan giác trong $\Delta$)

 

$\Leftrightarrow AB=BC=CA$

 

$\Leftrightarrow\Delta ABC$ đều.

[Viet Hoang 99]

$\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$$=\left(\frac{DB}{BC}\overrightarrow{AC}+\frac{DC}{BC}\overrightarrow{AB}\right)+\left(\frac{EC}{AC}\overrightarrow{BA}+\frac{EA}{AC}\overrightarrow{BC}\right)+\left(\frac{FA}{AB}\overrightarrow{CB}+\frac{FB}{AB}\overrightarrow{CA}\right)$

 

     $=\left(\frac{DC}{BC}-\frac{EC}{AC}\right).\overrightarrow{AB}+\left(\frac{DB}{BC}-\frac{FB}{AB}\right).\overrightarrow{AC}+\left(\frac{EA}{AC}-\frac{FA}{AB}\right).\overrightarrow{BC}$   ;   mà $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

 

     $=\left(\frac{DC}{BC}+\frac{FA}{AB}-1\right).\overrightarrow{AB}+\left(\frac{DB}{BC}+\frac{EA}{AC}-1\right).\overrightarrow{AC}$

 

$\Leftrightarrow\frac{DC}{BC}+\frac{FA}{AB}=1=\frac{DB}{BC}+\frac{EA}{AC}$   (vì $\overrightarrow{AB}\ ,\ \overrightarrow{AC}$ khác phương)

 

$\Leftrightarrow \frac{AF}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{CE}{CA}\ ;\ \frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BA}=\frac{CD}{CB}$

 

$\Leftrightarrow\frac{EA}{EC}=\frac{FB}{FA}=\frac{DC}{DB}$

 

$\Leftrightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{CB}{CA}=\frac{AC}{AB}$ (Áp dụng t/c tia phan giác trong $\Delta$)

 

$\Leftrightarrow AB=BC=CA$

 

$\Leftrightarrow\Delta ABC$ đều.

Nếu tính $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CF}$ theo cả $\overrightarrow{BC}$ nữa rồi đồng nhất thì sao nhỉ? 
Tỉ số kia thì dùng công thức phân giác quy về $AB;BC;CA$

[Kool LL]

Nếu tính $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CF}$ theo cả $\overrightarrow{BC}$ nữa rồi đồng nhất thì sao nhỉ? 
Tỉ số kia thì dùng công thức phân giác quy về $AB;BC;CA$

 

Không thể tính được $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CF}$ theo cùng $\overrightarrow{BC}$, mà trong biểu thức chắc chắn luôn có 2 vectơ 2 cạnh $\Delta$ABC.

Nên bài này chắc chắn làm theo kiểu 2 vectơ khác phương thì hệ số $=0$. 3 vectơ khác phương thì ko kết luận được gì.

$x.\overrightarrow{a}=y.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác phương thì $\Leftrightarrow x=y=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 22-08-2014 - 13:44

[Viet Hoang 99]

Không thể tính được $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CF}$ theo cùng $\overrightarrow{BC}$, mà trong biểu thức chắc chắn luôn có 2 vectơ 2 cạnh $\Delta$ABC.

Nên bài này chắc chắn làm theo kiểu 2 vectơ khác phương thì hệ số $=0$.

Như này:

 

$\frac{DB}{BA}=\frac{DC}{AC}=\frac{a}{b+c}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{c}{b+c}.\overrightarrow{BC}$

Có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}-\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$

Tương tự: 

$\overrightarrow{BE}=\frac{c}{a+c}\overrightarrow{BC}-\frac{a}{a+c}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CF}=\frac{-b}{a+b}\overrightarrow{BC}-\frac{a}{a+b}\overrightarrow{AC}$

 

Cộng lại 

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}\left ( \frac{b}{b+c}-\frac{a}{a+c} \right )+\overrightarrow{BC}\left ( \frac{c}{a+c}-\frac{b}{a+b} \right )+\overrightarrow{AC}\left ( \frac{c}{b+c}-\frac{a}{a+b} \right )=\overrightarrow{0}$

Đồng nhất $\Rightarrow a=b=c$
Được không anh?

[Kool LL]

 

Như này:

 

$\frac{DB}{BA}=\frac{DC}{AC}=\frac{a}{b+c}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{c}{b+c}.\overrightarrow{BC}$

Có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}-\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$

Tương tự: 

$\overrightarrow{BE}=\frac{c}{a+c}\overrightarrow{BC}-\frac{a}{a+c}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CF}=\frac{-b}{a+b}\overrightarrow{BC}-\frac{a}{a+b}\overrightarrow{AC}$

 

Cộng lại 

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}\left ( \frac{b}{b+c}-\frac{a}{a+c} \right )+\overrightarrow{BC}\left ( \frac{c}{a+c}-\frac{b}{a+b} \right )+\overrightarrow{AC}\left ( \frac{c}{b+c}-\frac{a}{a+b} \right )=\overrightarrow{0}$

Đồng nhất $\Rightarrow a=b=c$
Được không anh?

 

 

Kiểu 3 vecto như vậy thì không kết luận được gì đâu.

$\overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}$ cùng phương $\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{R}\ :\ \overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}$.

Nên $x.\overrightarrow{a}=y.\overrightarrow{b}$ (với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác phương) $\Leftrightarrow x=y=0$.