Cho x,y,z không âm. CMR:
$\frac{(x+y+z)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}} \geq \sum \frac{yz}{x^{2}+(y+z)^{2}}$
$\frac{(x+y+z)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}} \geq \sum \frac{yz}{x^{2}+(y+z)^{2}}$
Bắt đầu bởi PolarBear154, 24-08-2014 - 10:14
#1
Đã gửi 24-08-2014 - 10:14
PolarBear154
-
- Thành viên
-
- 396 Bài viết
Sĩ quan
- canhhoang30011999, Hoang Tung 126 và datmc07061999 thích
Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc...
#2
Đã gửi 24-08-2014 - 11:03
datmc07061999
-
- Thành viên
-
- 198 Bài viết
Trung sĩ
Cho x,y,z không âm. CMR:
$\frac{(x+y+z)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}} \geq \sum \frac{yz}{x^{2}+(y+z)^{2}}$
BĐT $\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{2}-\frac{yz}{x^{2}+(y+z)^{2}})\geq \frac{3}{2}-\frac{(x+y+z)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz)}\geq \frac{6(\sum x^{2})+(\sum x)^{2}}{2[2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}]}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})(\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz})\geq \frac{6(\sum x^{2})+(\sum x)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}}\Leftrightarrow$.
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta được:
$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})\frac{9}{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2xy+2yz+2zx}= \frac{6(\sum x^{2})+3\sum x^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}}\geq \frac{6\sum x^{2}+(x+y+z)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x+y+z)^{2}}$.
Hoàn tất phép chứng minh.
P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...
- canhhoang30011999 và PolarBear154 thích
Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
