Chủ đề này có 2 trả lời

[Super Fields]

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a}{2a+b}$$

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a}{2a+b}$$

Bạn ơi bạn thử $a=1,b=1,c=2$ xem lại có VT<VP?

[phamquanglam]

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a}{2a+b}$$

 

Bài này sai đề trông thấy!

Đề bài phải là: $\sum \frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \sum \frac{a}{2a+b}$

Chứng minh bài này thì dễ rồi!

Ta nhận thấy: $\frac{3ab}{a^{2}+ab+b^{2}}=1-\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}$

Do đó BĐT được viết lại dưới dạng:

$\sum \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+3\sum \frac{a}{2a+b}\geq 3$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{(\left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right |)^{2}}{2\sum a^{2}+\sum ab}$

$\sum \frac{a}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2\sum a^{2}+\sum ab}$

Do đó cần chứng minh:

$(\sum \left | a-b \right |)^{2}+3(a+b+c)^{2}\geq 3(2\sum a^{2}+\sum ab)$ nữa là đủ!

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$

Khi đó: $\sum \left | a-b \right |=a-b+b-c+a-c=2(a-c)$

BĐT trên được viết lại là:

$4(a-c)^{2}+3(\sum a)^{2}\geq 6\sum a^{2}+3\sum ab$

Khai triển vế trên ra ta thu được: $(a-c)^{2}+3(a-b)(b-c)\geq 0$

Điều này luôn đúng do đó BĐT đã được chứng minh