Chủ đề này có 2 trả lời

[thanhthanhtoan]

Cho hàm số: $y=x^{3} -3x +2 (C)$, tìm $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt $A(2, 4), B, C$ sao cho gốc tọa độ $O$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$

[E. Galois]

Dễ thấy đường thẳng đi qua $A$ và không có hệ số góc thì chỉ cắt $\left(C\right)$ tại duy nhất $A$.

Giả sử $(d)$ có hệ số góc là $k$. Khi đó $(d)$ có phương trình:

$$y=kx - 2k + 4$$

Hoành độ giao điểm của $\left(C\right)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:

$$x^3-3x+2 = kx - 2k + 4 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+1-k)=0  \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x=2 \\ x^2+2x+1-k=0 \end{array} \right.$$

Đường thẳng $(d)$ cắt $\left(C\right)$ tại $3$ điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình bậc hai cuối cùng có hai nghiệm phân biệt khác $2$. Điều này tương đương với:

\begin{equation}\left \{ \begin{array}{l}\Delta' =k > 0 \\ 2^2+2.2+1-k\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 5 \neq k > 0 \label{eq:2} \end{equation}

Với điều kiện $(2)$, ta có ba giao điểm $A(2;4),B(b;kb-2k+4),C(c;kc-2k+4)$.

Điểm $O$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ khi và chỉ khi:

\begin{align*}& \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=0 \\ \Leftrightarrow & bc+(kb-2k+4)(kc-2k+4)=0 \\ \Leftrightarrow & bc(1+k^2)-(b+c)(4k-2k^2)+4k^2-16k+16=0 \\ \Leftrightarrow &(1-k)(1+k^2)+2(4k-2k^2)+4k^2-16k+16=0 \\ \Leftrightarrow & -k^3+k^2-17+17=0 \\ \Leftrightarrow & k=1\end{align*}

Kết hợp với điều kiện $\eqref{eq:2}$, ta có $k=1$. Vậy đường thẳng cần tìm là:

$$y=x+2$$

[thanhthanhtoan]

Dễ thấy đường thẳng đi qua $A$ và không có hệ số góc thì chỉ cắt $\left(C\right)$ tại duy nhất $A$.

Giả sử $(d)$ có hệ số góc là $k$. Khi đó $(d)$ có phương trình:

$$y=kx - 2k + 4$$

Hoành độ giao điểm của $\left(C\right)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:

$$x^3-3x+2 = kx - 2k + 4 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+1-k)=0  \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x=2 \\ x^2+2x+1-k=0 \end{array} \right.$$

Đường thẳng $(d)$ cắt $\left(C\right)$ tại $3$ điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình bậc hai cuối cùng có hai nghiệm phân biệt khác $2$. Điều này tương đương với:

\begin{equation}\left \{ \begin{array}{l}\Delta' =k > 0 \\ 2^2+2.2+1-k\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 5 \neq k > 0 \label{eq:2} \end{equation}

Với điều kiện $(2)$, ta có ba giao điểm $A(2;4),B(b;kb-2k+4),C(c;kc-2k+4)$.

Điểm $O$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ khi và chỉ khi:

\begin{align*}& \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=0 \\ \Leftrightarrow & bc+(kb-2k+4)(kc-2k+4)=0 \\ \Leftrightarrow & bc(1+k^2)-(b+c)(4k-2k^2)+4k^2-16k+16=0 \\ \Leftrightarrow &(1-k)(1+k^2)+2(4k-2k^2)+4k^2-16k+16=0 \\ \Leftrightarrow & -k^3+k^2-17+17=0 \\ \Leftrightarrow & k=1\end{align*}

Kết hợp với điều kiện $\eqref{eq:2}$, ta có $k=1$. Vậy đường thẳng cần tìm là:

$$y=x+2$$

 

 

Đề là: "$O$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$", nếu làm theo Admin thì "$O$ là tâm của đường tròn đường kính $AB$" mất rồi, phải không ạ?

 

Em nghĩ theo hướng thế này: Vì $O$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$, nếu lấy $I$ là trung điểm $BC$ thì $IB=IC=IO$, ta chỉ cần giải $IB=IO$ hoặc $IC=IO$, em lấy trực tiếp hoành độ của 2 điểm $B, C$ là 2  nghiệm của phương trình bậc 2 ở trên. Tuy nhiên tính ra k rất lẻ, không biết có tính sai không.

 

Không biết Admin có cách nào khác không?