Cho tam giác ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác. MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB.
Tìm vị trí của M để $EA^2+CD^2+BF^2$ đạt giá trị nhỏ nhất?
Tìm vị trí của M để $EA^2+CD^2+BF^2$ đạt giá trị nhỏ nhất?
Bắt đầu bởi ktt, 26-08-2014 - 21:52
#1
Đã gửi 26-08-2014 - 21:52
ktt
-
- Thành viên
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
- hoctrocuaZel yêu thích
Rất dài và rất xa
Là những ngày mong nhớ...
Nơi cháy lên ngọn lửa
Là Trái tim yêu thương...
#2
Đã gửi 30-08-2014 - 21:07
LuoiHocNhatLop
-
- Thành viên
-
- 52 Bài viết
Hạ sĩ
Cho tam giác ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác. MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB.
Tìm vị trí của M để $EA^2+CD^2+BF^2$ đạt giá trị nhỏ nhất?
Bằng định lý Pythagore, ta dễ dàng chứng minh được $EA^2+CD^2+BF^2$=$EC^2+AF^2+BD^2$
Suy ra $EA^2+CD^2+BF^2=\frac{EA^2+CD^2+BF^2+EC^2+AF^2+BD^2}{2}\geq \frac{(EA+EC)^2+(BF+AF)^2+(CD+BD)^2}{4}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}$
(Áp dụng bđt $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 30-08-2014 - 21:08
- ktt yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
