Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhthanhtoan]

Cho hàm số: $y=x^{4}-(m^{2}+10)x^{2}+9$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ thỏa mãn: $|x_{1}| + |x_{2}| + |x_{3}| + |x_{4}| = 10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthanhtoan: 27-08-2014 - 20:45

[tranphuonganh97]

Cho hàm số: $y=x^{4}-(m^{2}+10)x^{2}+9$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ thỏa mãn: $|x_{1}| + |x_{2}| + |x_{3}| + |x_{4}| = 10$

Đặt $x^2=t$

Do đó: $y=f(t)=t^2-(m^2+10)t+9$

Để đồ thị cắt trục hoành tại $4$ điểm thì phương trình $y=0$ phải có 4 nghiệm phân biệt

$<=> f(t)=0$ có 2 nghiệm phân biệt cùng dương. 

$<=> \left\{\begin{matrix} \Delta >0\\S>0 \\ P>0 \end{matrix}\right.$

$<=> \left\{\begin{matrix} (m^2+10)^2-4.1.9>0\\m^2+10>0 \\ 9>0 \end{matrix}\right.$

$<=> (m^2+10)^2-36>0<=>(m^2+4)(m^2+16)>0$ (luôn đúng)

$=>$ phương trình $f(t)=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $0<t_1<t_2$

Đặt $x_1=-\sqrt{t_2},x_2=-\sqrt{t_1},x_3=\sqrt{t_1}, x_4=\sqrt{t_2}$

Do đó: $\sum \left | x_i \right |=10<=> 2\sqrt{t_1}+2\sqrt{t_2}=10<=> \sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=5<=> t_1+t_2+2\sqrt{t_1t_2}=25$

mà $\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=m^2+10\\ t_1t_2=9 \end{matrix}\right.$

$=>m^2+10+2.3=25<=> ....$