Chủ đề này có 1 trả lời

[zipienie]

Giải phương trình $$x^5+10x^3+20x-18=0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 28-08-2014 - 14:46

[shinichigl]

Giải phương trình $$x^5+10x^3+20x-18=0$$

Ta có công thức sau $\frac{1}{2}\left ( a^{5}-\frac{1}{a^{5}} \right )=16m^{5}+20m^{3}+5m$, trong đó $m=\frac{1}{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )$ (đa thức Chebyshev) (1)

Ta đặt $x=\sqrt{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )$ ($a\neq 0$)

Từ đó, phương trình được viết lại 

$4\sqrt{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )^{5}+20\sqrt{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )^{3}+20\sqrt{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )-18=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )^{5}+\frac{5}{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )^{3}+\frac{5}{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )=\frac{9\sqrt{2}}{8}$ (2)

Áp dụng công thức (1) vào phương trình (2) ta được

$\frac{1}{2}\left ( a^{5}-\frac{1}{a^{5}} \right )=\frac{9\sqrt{2}}{8}\Leftrightarrow \left ( a^{5} \right )^{2}-\frac{9\sqrt{2}}{4}a^{5}-1=0\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{\frac{9\pm \sqrt{113}}{4\sqrt{2}}}$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=\sqrt{2}\left ( \sqrt[5]{\frac{9 + \sqrt{113}}{4\sqrt{2}}}-\sqrt[5]{\frac{4\sqrt{2}}{9 + \sqrt{113}}} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 01-09-2014 - 14:08