Chủ đề này có 1 trả lời

[LuminousVN]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ với $(O)$ ($D$ khác $A$). Chứng minh $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+AC}$.

[LuoiHocNhatLop]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ với $(O)$ ($D$ khác $A$). Chứng minh $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+AC}$.

Vì tứ giác $ABDC$ nội tiếp $(O)$ nên theo định lý Ptolemy ta có $AD.BC=BD.AC+AB.CD$
Do AD là phân giác góc A nên BD=DC, suy ra $AD.BC=BD(AB+AC)$

$\Rightarrow \frac{BC}{AB+AC}=\frac{BD}{AD}$

 

Mặt khác, ta có: $\angle BOD=\angle ABI+\angle IBE=\frac{\angle A+\angle B}{2}$

và $\angle IBD=\angle IBE+\angle EBD=\frac{\angle A+\angle B}{2}$

$\Rightarrow \angle BID=\angle BID$ $\Rightarrow DB=ID$ 

$\Rightarrow \frac{BC}{AB+AC}=\frac{DI}{AD} (Q.E.D)$, 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 30-08-2014 - 21:22