Chủ đề này có 2 trả lời

[kobietlamtoan]

Cho x,y thỏa mãn: $\frac{1}{3} < x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$

 

Tìm GTNN:

 

$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{(4xy-x-y)^2}$

[Viet Hoang 99]

Cho x,y thỏa mãn: $\frac{1}{3} < x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$

 

Tìm GTNN:

 

$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{(4xy-x-y)^2}$

http://math.stackexc...racx2y24xy-x-y2

[kobietlamtoan]

Dự đoán a=2, b=1. Với $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}$ và $4-a-b > 4-3-1=0$

 

Khi đó $P = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{(4-a-b)^2}=\frac{1}{a^2} + 4*\frac{1}{4b^2}+4*\frac{1}{(4-a-b)^2}$

 

$9*(\frac{1}{a^2} + 4*\frac{1}{4b^2}+4*\frac{1}{(4-a-b)^2})\geq \left (\frac{1}{a}+4*\frac{1}{2b}+4*\frac{1}{2(4-a-b)} \right )^2\geq \left ( \frac{9^2}{a+8b+8(4-a-b)} \right )^2$

 

$=\left ( \frac{9^2}{32-7a} \right )^2 \geq \left ( \frac{9^2}{18} \right )^2=\frac{81}{4}$

 

Thay vào suy ra $P\geq \frac{9}{4}$ . Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{1}{2}; y=1$