Chủ đề này có 4 trả lời

[Mrnhan]

1. Cho $C_{[a,b]}:=\left \{ f:[a,b]\to\mathbb{R}|f\, \text{liên tục} \right \}$ với metric $d(f,g)=\underset{x\in [a,b]}{\sup}\left | f(x)-g(x) \right |$.

Chứng minh rằng mọi dãy cơ bản trong $C_{[a,b]}$ đều hội tụ

 

2. (E,d) là không gian metric, $A\subset E, x\in E$. Ta định nghĩa $d(x,A)=\underset{y\in A}{\inf }d(x,y)$.

 Chứng minh rằng $d(x,A)=0\Leftrightarrow x\in \overline{A}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 03-09-2014 - 05:43

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

1. Nếu $\left \{ x_n \right \}$ là một dãy Cauchy trong $C\left [ a,b \right ]$ thì mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại $n_0$ sao cho mọi $m,n\geq n_0$, $t \in \left [ a,b \right ], \left | x_m\left ( t \right ) - x_n\left ( t \right )\right | \leq \underset{t \in \left [ a,b \right ]}{\sup} \left | x_m\left ( t \right ) - x_n\left ( t \right ) \right | < \varepsilon$. Suy ra dãy hàm $\left \{ x_n \right \}$ hội tụ đều đến một hàm $x$ nào đó (tiêu chuẩn Cauchy cho dãy hàm hội tụ đều). Do $x_n$ liên tục nên $x$ liên tục, hay $x \in C\left [ a,b \right ]$. Tức dãy $\left \{ x_n \right \}$ hội tụ trong không gian $C\left [ a,b \right ]$.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Giả sử $d\left ( x,A \right )=0$. Tức $\underset{y \in A}{\inf} d\left ( x,y \right )=0$. Khi đó tồn tại dãy $\left \{ y_n \right \} \subset A$ sao cho $d\left ( x,y_n \right ) \xrightarrow[]{n \to \infty} 0$ (định nghĩa infimum). Nghĩa là $y_n\xrightarrow[]{n \to \infty} x$. Do $\left \{ y_n \right \} \subset A$ nên $x \in \overline{A}$.

Ngược lại, nếu $x \in \overline{A}$ thì tồn tại $\left \{ y_n \right \} \subset A$ sao cho $y_n\xrightarrow[]{n \to \infty} x$. Khi đó$d\left ( x,A \right )= \underset{y \in A}{\inf} d\left ( x,y \right ) \leq d\left ( x,y_n \right ) \xrightarrow[]{n \to \infty} 0$. Vậy $d\left ( x,A \right )=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 03-09-2014 - 21:38

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Em làm sao mà nó không hiện công thức được zậy?

[Mrnhan]

Anh cũng không biết nhưng khi nãy có sửa rồi, nó hiện rồi đấy.