Mở rộng định lý Pascal và định lý Brianchon
Cho sáu đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_3)$, $(O_4)$, $(O_5)$, $(O_6)$. Các đường tròn $(O_i)$, $(O_{i+1})$ cắt nhau tại các điểm tại hai điểm $A_i$, $A'_i$ với $i=1, 2, 3, 4, 5, 6$ (Ở đây chúng ta lấy module 6). Chứng minh rằng nếu sáu điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ nằm trên một đường tròn và $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$, $A'_4$, $A'_5$, $A'_6$ nằm trên một đường tròn khác.
1. Khi đó giao điểm của các cặp đường tròn $(O_1)$ và $(O_4)$, $(O_2)$ và $(O_5)$, $(O_3)$ và $(O_6)$ (nếu tồn tại) sẽ nằm trên một đường tròn.
2. Các đường thẳng $O_1O_4, O_2O_5, O_3O_6$ sẽ đồng quy (Vấn đề này đã được công bố tại Problem 3845, Volum 39, trên tạp chí Crux Mathemticorum)
http://tube.geogebra.org/m/1539785
TẠI SAO TÔI PHÁT HIỆN RA KẾT QUẢ NÀY?
Định lý Pascal là một định lý nổi tiếng đặt theo tên nhà bác học Blaise Pascal (1623-1662). Nội dung như sau:
Cho một lục giác nội tiếp khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.
Ngày 29/08/2015 anh Nguyễn Ngọc Giang có đăng trên facebook một kết quả là mở rộng của định lý Pascal như sau:
Tôi nhìn vào cách mở rộng của anh Giang tôi thấy rằng sẽ có một lục giác đối xứng với đường tròn ngoại tiếp lục giác $ABCDEF$ ban đầu ở bên kia trục của đường thẳng d. Với kinh nghiệm "CHƠI" hình học phẳng mấy năm nay tôi hiểu rằng kết quả này có thể mở rộng thành một định lý tổng quát hơn bằng cách ta thay lục giác đối xứng đó trong kết quả của anh Giang bằng một lục giác nội tiếp bất kỳ, ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng. Tôi nghĩ như vậy và tôi kiểm tra qua phần mềm thấy ý tưởng của tôi hoàn toàn đúng đắn. Quan sát kỹ hơn tôi thấy rằng cấu trúc hình học này thực ra tôi đã tìm ra và đăng trên tạp chí Crux vào tháng 5/2014(mà tôi vẫn gọi là vấn đề (hoặc định lý) tám đường tròn. Vốn được tôi biết đến như là một mở rộng của định lý Brianchon (một định lý kép của định lý Pascal).
Nội dung mở rộng định lý Pascal và định lý Brianchon như sau:
Cho sáu đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_3)$, $(O_4)$, $(O_5)$, $(O_6)$. Các đường tròn $(O_i)$, $(O_{i+1})$ cắt nhau tại các điểm tại hai điểm $A_i$, $A'_i$ với $i=1, 2, 3, 4, 5, 6$ (Ở đây chúng ta lấy module 6). Chứng minh rằng nếu sáu điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ nằm trên một đường tròn và $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$, $A'_4$, $A'_5$, $A'_6$ nằm trên một đường tròn khác.
1. Mở rộng định lý Pascal: Khi đó giao điểm của các cặp đường tròn $(O_1)$ và $(O_4)$, $(O_2)$ và $(O_5)$, $(O_3)$ và $(O_6)$ (nếu tồn tại) sẽ nằm trên một đường tròn (1)
Khi nào đường tròn này suy biến thành đường thẳng Pascal? Ở đây tôi chỉ ra hai cách để đường tròn này suy biến thành đường thẳng Pascal như sau:
Cách 1: Xây dựng như cách của anh Giang.
Cách 2: Nếu cho đường tròn qua $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$, $A'_4$, $A'_5$, $A'_6$ suy biến thành một điểm đặt tên là điêm $M$, khi đó rõ ràng $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_3)$, $(O_4)$, $(O_5)$, $(O_6)$ đều đi qua $M$. Giả sử các giao điểm còn lại của của $(O_1)$ và $(O_4)$, $(O_2)$ và $(O_5)$, $(O_3)$ và $(O_6)$ là $A, B, C$ như vậy theo kết quả (1) $A, B, C, M$ nằm trên một đường tròn. Bây giờ nếu ta cho điểm M cứ tiến tới vô cùng khi đó đường tròn này sẽ biến thành một đường thẳng và $A, B, C$ chính là giao điểm của ba cặp cạnh đối diện của lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$.
2. Mở rộng định lý Brianchon: Các đường thẳng $O_1O_4, O_2O_5, O_3O_6$ sẽ đồng quy (Vấn đề này đã được công bố tại Problem 3845, Volum 39, trên tạp chí Crux Mathemticorum)
Khi nào kết quả trên thu về định lý Brianchon? Ở đây tôi chỉ ra hai cách để kết quả trên suy biến thành định lý Brianchon.
Cách 1: Dựng hình sao cho các điểm Ai trùng với Ai' khi đó sẽ có phát biểu là:
Cho sáu đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_3)$, $(O_4)$, $(O_5)$, $(O_6)$, giả sử các đường tròn $(O_i)$ tiếp xúc $(O_{i+1})$ (chúng ta lấy Modulo 6) và sáu điểm tiếp xúc này nằm trên một đường tròn khi đó đường thẳng $O_1O_4, O_2O_5, O_3O_6$ đồng quy. Thực sự dễ dàng thấy rằng định lý Brianchon là trường hợp đặc biệt của kết quả này.
Cách 2: Cho $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$, $A'_4$, $A'_5$, $A'_6$ suy biến thành một điểm (trùng nhau) đặt tên là điểm $M$ cho điểm này trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ sau đó vị tự tỉ số 2 ta sẽ có ngay định lý Brianchon.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oai Thanh Dao: 02-09-2015 - 20:09