Chủ đề này có 1 trả lời

[S dragon]

Cho tam giác nhọn ABC. M là một điểm di đọng trên cạnh BC. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn Ngoại tiếp các tam giác ABM,ACM tương ứng.

a. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ luôn đi qua một điểm cố định khác A.

b. Gọi O,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AIJ tương ứng. Hãy xác định vị trí điểm M trên BC sao cho OH nhỏ nhất.

[vkhoa]

(hình vẽ bên dưới)

a)Ta có $\widehat{AIJ}=\widehat{JIM} =\frac{\widehat{AIM}}{2}$
và có $\widehat{ABM} =\frac{\widehat{AIM}}{2}$
suy ra $\widehat{AIJ} =\widehat{ABM}$
chứng minh tương tự có $\widehat{AJI}=\widehat{ACM}$
=>$\triangle AIJ\sim\triangle ABC$ (g,g) (1)
(1)=>$\widehat{IAJ} =\widehat{BAC}$
<=>$\widehat{IAC} +\widehat{CAJ} =\widehat{BAI} +\widehat{IAC}$
<=>$\widehat{CAJ} =\widehat{BAI}$ (2)
(1)=>$\frac{AI}{AB} =\frac{AJ}{AC}$
<=>$\frac{AJ}{AI} =\frac{AC}{AB}$ (3)
từ (2, 3) =>$\triangle CAJ\sim\triangle BAI$ (góc = nhau giữa cặp cạnh tỉ lệ) (4)
gọi D là tâm đ tròn ngoại tiếp AIJ
dựng tam giác EAD đồng dạng và cùng chiều với tam giác BAI (5)
(5)=>DA=DE (vì IA=IB) =>E thuộc đường tròn ngoại tiếp AIJ(6)
(5)=>$\widehat{BAI} =\widehat{EAD}$
<=>$\widehat{BAI} +\widehat{IAE} =\widehat{EAD} +\widehat{IAE}$
<=>$\widehat{BAE} =\widehat{IAD}$ (7)
(5) =>$\frac{AD}{AI} =\frac{AE}{AB}$
<=>$\frac{AE}{AD} =\frac{AB}{AI}$ (8)
từ (7, 8) =>$\triangle BAE\sim\triangle IAD$ (góc = nhau giữa cặp cạnh tỉ lệ)
=>$\frac{EB}{DI} =\frac{EA}{DA}$
mà DI=DA =>EB =EA (9)
từ (4, 5)=>tam giác EAD đồng dạng và cùng chiều với tam giác CAJ
cminh tương tự có EC=EA (10)
từ (9, 10)=>E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, cố định mà có (6) =>đpcm
b)H trùng D, O trùng E
=>OH nhỏ nhất khi ED nhỏ nhất
hạ DN vuông góc AE tại N=>N là trung điểm AE , cố định
ta có ED>=EN =>ED nhỏ nhất = EN khi D trùng N=>D trung điểm AE
mà ta có (5) =>I là trung điểm AB=> góc AMB vuông
vậy OH nhỏ nhất khi AM vuông góc BC