Chủ đề này có 1 trả lời

[huyentrang97]

Cho hàm số y=$\frac{1}{3}(m^{2}-1)x^{3}+(m-1)x^{2}-2x+1$

Tìm m để hàm số nghịch biến trên ($-\infty$, 2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyentrang97: 11-09-2014 - 22:09

[thanhthanhtoan]

Cho hàm số y=$\frac{1}{3}(m^{2}-1)x^{3}+(m-1)x^{2}-2x+1$

Tìm m để hàm số nghịch biến trên ($-\infty$, 2)

$TXD: D=R\\y'= (m^{2}-1)x^{2}+2(m-1)x-2$

 

TH1: $m^{2}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$

Với $m=1=>y ' =-2 <0\forall x \in R =>$ hàm số luôn nghịch biến trên $R =>$ hàm số luôn nghịch biến trên ($-\infty, 2$) $=> m=1$ thỏa

Với $m=-1 => y'= -4x-2$. Xét dấu $y'$ ta thấy $y'>0 \forall x\in (-\infty; \frac{-1}{2})$ và $y'<0 \forall x\in (\frac{-1}{2}; +\infty)=>$ hàm số nghịch biến trên  $(\frac{-1}{2}; +\infty) =>$ không thỏa yêu cầu đề  bài $=>m=-1$ loại

 

TH2: $m^{2}-1<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>1\end{array} \right.$

$\Delta' _{y'}=(m-1)^{2}-(m^{2}-1).(-2)=3m^{2}-2m+3 >0\forall m$

Khi đó $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x{1}<x_{2}$, ta có BBT:

 

Dựa BBT, để hàm số nghịch biến trên ($-\infty, 2)$ thì $2\leq x_{1}< x_{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta _{y'}>0 \\(x_{1}-2 )(x_{2}-2) >0\\\frac{x_{1}+x{2}}{2} >2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{1}.x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4>0 \\ x_{1}+x_{2}>4 \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{-2}{m^{2}-1}-2.\frac{-2(m-1)}{m^{2}-1}+4>0 \\ \frac{-2(m-1)}{m^{2}-1}>4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m< \frac{-1-\sqrt{11}}{2} \\-1< m< 1\\ m> \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \end{array} \right. \\ \frac{-3}{2}<m<-1\end{array}  \right.\Leftrightarrow m=\varnothing$

 

TH3: $m^{2}-1>0\Leftrightarrow -1<m<1$

$\Delta' _{y'}=(m-1)^{2}-(m^{2}-1).(-2)=3m^{2}-2m+3 >0\forall m$

Khi đó $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x{1}<x_{2}$, ta có BBT:

Dựa BBT: Ta thấy không tồn tại khoảng $y'<0$ trên ($-\infty, 2)$

$=>-1<m<1$ không thỏa

 

Vậy kết hợp 3 trường hợp ta có kết quả: $m=1$