Chủ đề này có 1 trả lời

[VoTienHung]

Cho hình chóp $SABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $BA = a\sqrt{2}$, $SA$ vuông góc với $(ABC), SA = 2a$. Gọi $H, K $lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB, SC$.
Tính thể tích khối chóp $SAHK$

[thanhthanhtoan]

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B.
BA = a√2, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC.
Tính thể tích khối chóp.

 

Chắc bạn ghi đề thiếu. Tính thể tích khối chóp gì? Nếu thể tích khối chóp $S.ABC$ thì quá dễ, vì ta đã biết chiều cao $SA$ và diện tích đáy $ABC$ tính dễ dàng, giả thiết $H, K$ là thừa. Đề bài này rất quen và hay thường gặp. Đề sẽ là tính thể tích khối chóp $S.AHK$

 

 

Cách 1: Dùng tỉ lệ thể tích:

Xét chóp $S.ABC$ có $H\in SB, K\in SC$

$\Rightarrow \frac{V_{S.AHK}}{V_{SABC}}=\frac{SH}{SB}.\frac{SK}{SC}(1)\\V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.SA.BA.BC=\frac{2a^{3}}{3}$

$\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $AH$ là đường cao:

$\Rightarrow SA^{2}=SH.SB\\\Leftrightarrow \frac{SA^{2}}{SB^{2}}=\frac{SH.SB}{SB^{2}}\Leftrightarrow \frac{SA^{2}}{SB^{2}}=\frac{SH}{SB}\Leftrightarrow \frac{SH}{SB}=\frac{SA^{2}}{SA^{2}+AB^{2}}=\frac{4a^{2}}{6a^{2}}=\frac{2}{3}$

$\Delta SAC$ vuông tại $A$, có $AK$ là đường cao:

$\Rightarrow SA^{2}=SK.SC\\\Leftrightarrow \frac{SA^{2}}{SC^{2}}=\frac{SK}{SC}\Leftrightarrow \frac{SK}{SC}=\frac{SA^{2}}{SA^{2}+AC^{2}}=\frac{4a^{2}}{8a^{2}}=\frac{1}{2}$

$(1) \Rightarrow V_{S.AHK}=V_{S.ABC}.\frac{SH}{SB}.\frac{SK}{SC}=\frac{2a^{3}}{3}. \frac{2}{3}. \frac{1}{2}$

 

Cách 2: tính trực tiếp

$\left\{ \begin{array}{l} BC\perp AB \\ BC\perp SA (SA\perp(ABC)\supset BC) \end{array} \right.\\\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AH\supset (SAB) hay AH\perp BC(1)\\AH\perp SB (2)\\(1), (2)\Rightarrow AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp SC$

Có $\left\{ \begin{array}{l} SC\perp AH \\ SC\perp AK \end{array} \right.\Rightarrow SC\perp (AHK) \Rightarrow SK\perp (AHK)$

Suy ra chiều cao của chóp $S.AHK$ là $SK$

$\Delta SAC$ vuông tại $A$, có $AK$ là đường cao:

$\Rightarrow SA^{2}=SK.SC => SK=...$

Vì $AH\perp (SBC) => SH\perp HK => \Delta AHK$ vuông tại $H$

$\Delta SAB: \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}\Rightarrow AH=...\\\Delta SAC: \frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}\Rightarrow AK=...\\Pitago\Delta AHK: AH^{2}+HK^{2}=AK^{2}\Rightarrow HK=...\\S_{AHK}=\frac{1}{2}AH.HK\\\Rightarrow V_{S.AHK}=\frac{1}{3}.SK.S_{S.AHK}$