Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.
phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.
#1
Đã gửi 21-09-2014 - 23:49
- hoctrocuaZel, chardhdmovies và nhungvienkimcuong thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#2
Đã gửi 22-09-2014 - 10:59
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.
Anh dùng Cacnado tìm được 3 nghiệm, cụ thể xem: http://www.wolframal...-36x^2+45x-17=0
Lúc này phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Để ý rằng: Tam giác ABC có góc A tù khi: $AB^2+AC^2<BC^2$
Khi đó: $x_3^2-x_1^2-x_2^2\approx \frac{79}{100}>0$
Vậy tam giác có 1 góc tù!!!!
P/s:
1/ Lời giải chưa thực sự chính xác, vì con số ở đây là gần bằng
2/ Anh có thể dùng định lí Viéte trong phương trình bậc 3 để chứng minh bình phương 1 nghiệm > tổng bp 2 nghiệm còn lại.
- caybutbixanh yêu thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#3
Đã gửi 22-09-2014 - 23:32
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.
Xét $f(x)=9x^3-36x^2+45x-17$ trên $\mathbb{R}$
$f'(x)=27x^2-72x+45$ ; $f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}\ x=1\rightarrow y=1\text{ (C Đ)} \\ x=\frac{5}{3}\rightarrow y=\frac{-1}{3}\text{ (CT)}\end{array}\right.$
$f(0)=-17<0$ ; $f(\sqrt{3})=72\sqrt{3}-125<0$
Dựa vào BBT của hàm $f$ ta có NX : $f(0).f(1)<0$ ; $f(1).f(\sqrt{3})<0$ ; $f(\sqrt{3}).f(2)<0$.
Suy ra pt $f(x)=0$ luôn có 3 nghiệm p.b $a,b,c$ thoả $0<c<1<b<\sqrt{3}<a<2$.
Đinh lí Viét bậc 3 : $\begin{cases}a+b+c=4 \\ ab+bc+ca=5 \\ abc=17\end{cases}$
Do đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có góc tù $\Leftrightarrow\begin{cases}b^2+c^2<a^2\\b+c>a\end{cases}$ $\Leftrightarrow\begin{cases}2a^2>a^2+b^2+c^2=4^2-2.5=6 \\ 2a<a+b+c=4\end{cases}$ $\Leftrightarrow \sqrt{3}<a<2$ (đúng).
Vậy ta có (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 22-09-2014 - 23:39
- caybutbixanh, chardhdmovies và nhungvienkimcuong thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh