Chủ đề này có 2 trả lời

[phan huong]

CMR với số thực dương a, b, c ta có $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}+ \frac{b^{3}}{b^{2}+bc + 2c^{2}}+ \frac{c^{3}}{c^{2}+ca + 2a^{2}}\geq \frac{a + b + c}{4}$

 

@MOD : Chú ý khi đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 22-09-2014 - 20:30

[hoctrocuanewton]

CMR với số thực dương a, b, c ta có $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}+ \frac{b^{3}}{b^{2}+bc + 2c^{2}}+ \frac{c^{3}}{c^{2}+ca + 2a^{2}}\geq \frac{a + b + c}{4}(1)$

 

@MOD : Chú ý khi đặt tiêu đề

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b+2ab^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum ab^{2}}$

 

Nhận thấy :

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)}$

 

Nên để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh :

$ \sum ab^{2}\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}$

 

$\Leftrightarrow \sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq abc(a+b+c)+\sum ab^{3}$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$a^{4}+b^{2}c^{2}\geq 2a^{2}bc$

$a^{2}b^{2}+b^{4}\geq 2ab^{3}$

Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 22-09-2014 - 21:13

[phan huong]

cách này là thầy giáo mình chữa nè : dùng phương pháp tiếp tuyến ta chứng minh được $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab +2b^{2}}\geq \frac{9}{16}a - \frac{5}{16}b$.tương tự với 2 phân số còn lại rồi cộng vế theo vế ta được đpcm