$(=>)$ Trường hợp $M$ đủ suy ra mọi dãy thắt đều giao khác rỗng là đủ . Thật vậy nếu $M=(X,d)$ là đầy đủ xét một dãy thắt bất kì . Với mỗi $n$ đặt $d(F_{n})=d_{n}$ . Do $lim_{n \to \infty} d_{n}=0$ nên $\forall c > 0 \exists N , n > N : d_{n}<c$ , với mỗi $n$ chọn một cặp $(x_{a},x_{b}) \in F_{n}$ thế thì dãy $(x_{i})$ là dãy Cauchy , do $M$ là đầy đủ nên dãy $(x_{i})$ hội tụ . Nhưng lại do dãy này toàn là tập đóng nên nó chứa chung giới hạn $a = lim_{n \to \infty} x_{n}$
$(<=)$ Trong trường hợp này ta chọn một dãy Cauchy là $(a_{n})$ và xét dãy hình cầu đóng tâm $a_{n}$ bán kính $r_{n} \to 0$
$$S[a_{1},r_{1}]\supset S[a_{2},r_{2}]\supset .... S_[a_{n},r_{n}]\supset ...$$
Gọi $a$ là điểm chung của dãy hình câu đóng này thế thì ( lưu ý do nó là dãy Cauchy nên mới chọn được )
$$d(a_{n},a)\leq r_{n}$$
Như vậy dãy $a_{n}$ hội tụ về $a$ , tức là mọi dãy Cauchy đều hội tụ do đó $M=(X,d)$ là đầy đủ .
Tham khảo thêm tại đây định lý phạm trù Baire
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-10-2016 - 21:50