Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc đường chéo BD. E,F lần lượt là hình chiều của M trên AB, AD

Xác định vị trí điểm M để S_CEF nhỏ nhất.

[Phuong Hoa 23]

S_EFC nhỏ nhất <=>S_FAE+S_BEC+S_DFC lớn nhất <=> FA.EA+BC.FA+BC.EA=FA.AE+BC² lớn nhất (vì FA=BE; AE=DF; BC=DC)
Giả sử $FA\leq EA$. Đặt EA-FA=k$\Leftrightarrow FA.EA=(EA-k).EA=EA^{2}-k.EA$\leq$ EA^{2}$ <=> SEFC nhỏ nhất khi k=0 <=>FA=EA<=> M là trung điểm BD

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Hoa 23: 14-12-2014 - 13:10

[hoanglong2k]

Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc đường chéo BD. E,F lần lượt là hình chiều của M trên AB, AD

Xác định vị trí điểm M để S_CEF nhỏ nhất.

Đặt $AB=BC=CD=DA=a; DF=x\Rightarrow FM=AE=x\Rightarrow AF=EM=EB=a-x$ (a>x>0)

Khi đó: $S_{EFC}=a^2-\frac{(a-x)x}{2}-\frac{a(a-x)}{2}-\frac{ax}{2}= \frac{1}{2}(a^2-ax+x^2)=\frac{1}{2}[\frac{3a^2}{4}+(\frac{a}{2}-x)^2]\geq \frac{3a^2}{8}$

Đẳng thức khi $x=\frac{a}{2}$

[Phung Quang Minh]

S_EFC nhỏ nhất <=>S_FAE+S_BEC+S_DFC lớn nhất <=> FA.EA+BC.FA+BC.EA=FA.AE+BC² lớn nhất (vì FA=BE; AE=DF; BC=DC)
Giả sử $FA\leq EA$. Đặt EA-FA=k$\Leftrightarrow FA.EA=(EA-k).EA=EA^{2}-k.EA\geq EA^{2}$ <=> SEFC nhỏ nhất khi k=0 <=>FA=EA<=> M là trung điểm BD

-Bạn ơi cái chỗ EA^2-k.EA>= EA^2 là sao? EA^2-k.EA phải bé hơn hoặc bằng EA^2 chứ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phung Quang Minh: 13-12-2014 - 23:37

[Phung Quang Minh]

-Gọi CM cắt FE tại K; FM cắt BC tại H. 

-Chứng minh được tam giác FME= tam giác CHM(c.g.c).

=> CM vuông góc với FE: CM=FE.

-Ta có: S(CEF) min <=> CK.FE min <=> CM.FE+KM.FE min.

<=> CM^2+ FM.ME min (Do KM.FE=EM.MF(=2.S(FME)). <=> FE^2+FM.ME min.

<=> 2(FE^2+ FM.ME) min <=> FE^2+ (FM^2+ EM^2+ 2.FM.EM) min <=> FE^2+ (FM+ME)^2 min.

<=> FE^2+ AB^2 min <=> FE^2 min( Do AB cố định).

<=> FE min <=>MC min (Do MC=FE).

<=> CM vuông góc với BD <=> M là trung điểm của BD.

 Vậy S(CEF) min <=> M là trung điểm của BD.

[Phuong Hoa 23]

-Bạn ơi cái chỗ EA^2-k.EA>= EA^2 là sao? EA^2-k.EA phải bé hơn hoặc bằng EA^2 chứ!

hướng làm đúng rồi à?

[Phung Quang Minh]

hướng làm đúng rồi à?

Hướng làm của bạn thì chắc là đúng rồi nhưng hơi dài ở cái chỗ đặt EA-FA=k>=0. 

Giả sử xong thì suy ra luôn EA.FA>= FA^2 => Min EA.FA=FA^2.

-Dấu bằng xảy ra <=> EA=FA <=> ME=MF <=> M là trung điểm của BD.