Đề thi chọn học sinh giỏi năm học $2014-2015$
Môn toán : vòng $1$ ngày thứ nhất $27-09-2014$
Thời gian :$210$ phút
Câu $1$ : Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn
$P(x^{3})+x(P(x))^{2}=(P(x))^{3}+xP(x^{2})$ với mọi $x \in R$
Câu $2$ : Cho $n$ là số nguyên dương . Chứng minh rằng tồn tại số $m$ thỏa $2^{m} \equiv 2015(mod3^{n})$ và $2^{m} \equiv 3^{2015}(mod5^{n})$
Câu $3$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định và $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp lần lượt tiếp xúc $CA$ và $AB$ ở $E,F$ . $IB , IC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C$ . Gọi $S,T$ là tâm ngoại tiếp $IFN$ và $IEM$ . Lấy $P\in ST$ sao cho $IP || BC$ . Gọi đường thẳng qua $A$ vuông góc $IA$ cắt $(O)$ ở $K$ khác $A$ . Gọi $IK$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $K$ . $J$ là trung điểm $OI$ . Lấy $Q$ thuộc $JL$ sao cho $PQ = PI$ . Chứng minh $IQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển .
Câu $4$ : Cho tập $S$ có $2015$ phần tử . Với mỗi số $n \leq 2^{2015}$ xét $n$ tập con $A_{i}$ phân biệt của $S$ . Đặt $B_{i} = S - A_{i}$ là phần bù của $A_{i}$ trong $S$ . Với $1\leq i \leq n$ được đánh dấu một trong hai tập $A_{i},B_{I}$ . Tìm $n$ nhỏ nhất để mọi cách chọn thì đều có một cách đánh dấu sao cho hợp của các tập được đánh dấu là $S$.
Đã được đăng ở đây
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 27-09-2014 - 13:17