Chủ đề này có 1 trả lời

[KeyMath]

Mình đi học gặp bài tập này không biết xử lí thế nào. Mong nhận được sự giúp đỡ từ các bạn trên diễn đàn. Cám ơn các bạn nhiều !

 

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x-\arctan x}{x^{3}}$

 

$\lim_{x\to 0} (x^{1/x}.\ln x)$

 

$lim_{x\to 0} (\sqrt{x^{2}+x}.\ln x)$

 

@Mrnhan:   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 28-09-2014 - 20:16

[Mrnhan]

 

$$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x-\arctan x}{x^{3}}$$

 

Nếu biết cách khai triển $Maclaurin$ thì triển thôi, không thì chịu khó dùng đạo hàm qua $L'hospital$

 

$$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+O(x^3)$$

 

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^3)$$

 

$$\Rightarrow \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x-\arctan x}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{2}+O(x^3)}{x^3}=\frac{1}{2}$$

 

Làm theo đạo hàm:

 

$$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x-\arctan x}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{1+x^2-\sqrt{1-x^2}}{3x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{2x+\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}}{6x}=\frac{1}{2}$$