15 replies to this topic

[Trung Gauss]

   SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                     KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1

              LONG AN                                                          Môn thi: Toán (Bảng B)

                                                                                         Ngày thi: 30/09/2014

           ĐỀ CHÍNH THỨC                                                 Thời gian: 180 phút

 

  

   Câu 1 (6,0 điểm)

          a) Giải phương trình sau trên tập số thực: $2x^2+3x+7=(x+5)\sqrt{2x^2+1}$

          b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\begin{cases}(x+\sqrt{x^2+4})(y+\sqrt{y^2+1})=2\\6y^2-5y+1=\sqrt[3]{x^3+1}\end{cases}$

 

  Câu 2 (5,0 điểm)

          a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x-y+1=0$, đường tròn (C) có phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=9$ và điểm $P(-1;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(d)$ sao cho từ $M$ kẻ tới (C) hai tiếp tuyến $MA,\,MB$ ($A, B$ là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ $P$ tới đường thẳng $AB$ lớn nhất.

          b) Cho tam giác không vuông ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng: $\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$

 

   Câu 3 (3,0 điểm)

         Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $\begin{cases}u_1=2\\u_{n+1}=u_n^2+u_n,\,\forall n\in\mathbb{N^*}\end{cases}$

          a) Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên.

          b) Đặt $x_n=\dfrac{u_1}{u_2}+\dfrac{u_2}{u_3}+...+\dfrac{u_n}{u_{n+1}}.\,\forall n\in\mathbb{N^*}$. Tìm $\lim\,x_n$.

 

  Câu 4 (3,0 điểm)

         Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le 1$$

 

  Câu 5 (3,0 điểm)

         Tìm $m$ để đồ thị $(C_m)$ của hàm số $y=x^4-2(m-1)x^2+2m^2-m+1$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

Edited by Trung Gauss, 01-10-2014 - 16:03.

[Near Ryuzaki]

  Câu 4 (3,0 điểm)

         Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le 1$$

Ta có : $$a^3+b^3+1=a^3+b^3+abc \geq ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)$$

 Suy ra $$\sum \dfrac{1}{a^3+b^3+1} \leq \sum \dfrac{1}{ab(a+b+c)}=1$$

Edited by sieusieu90, 01-10-2014 - 22:08.

[tohoproirac]

 

 

  

   Câu 1 (6,0 điểm)

          a) Giải phương trình sau trên tập số thực: $2x^2+3x+7=(x+5)\sqrt{2x^2+1}$

          b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\begin{cases}(x+\sqrt{x^2+4})(y+\sqrt{y^2+1})=2\\6y^2-5y+1=\sqrt[3]{x^3+1}\end{cases}$

 

 

1 a) $2x^2+3x+7=(x+5)\sqrt{2x^2+1}$

       $2x^{2}-8=(x+5)(\sqrt{2x^{2}+1}-3)$

       $2x^{2}-8=(x+5)\frac{2x^{2}-8}{\sqrt{2x^{2}+1}+3}$

       $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=+-2\\ x+5=\sqrt{2x^{2}+1}+3 \end{matrix}\right.$

 

Xong rồi ha   

 

 

1 b) $\begin{cases}(x+\sqrt{x^2+4})(y+\sqrt{y^2+1})=2\\6y^2-5y+1=\sqrt[3]{x^3+1}\end{cases}$

 

   pt (1) $(x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2$

      $\Leftrightarrow x+\sqrt{x^{2}+4}=2(\sqrt{y^{2}+1}-y)$

      $\sqrt{x^{2}+4}-x=2(y+\sqrt{y^{2}+1})$

từ 3 cái trên suy ra x= -2y   

thay vào (2)

      $6y^{2}-5y+1=\sqrt[3]{1-8y^{3}}$

      $\Leftrightarrow (-2y+1)^{3}+2(-2y+1)=(1-8y^{3})+2\sqrt[3]{1-8y^{3}}$

 

đây là hàm quá quen thuộc   

suy ra    $-2y +1= \sqrt[3]{1-8y^{3}}$

              $y(2y-1)=0$

 

Xong   

Edited by tohoproirac, 02-10-2014 - 11:57.

[Phuong Thu Quoc]

 

 

   Câu 3 (3,0 điểm)

         Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $\begin{cases}u_1=2\\u_{n+1}=u_n^2+u_n,\,\forall n\in\mathbb{N^*}\end{cases}$

          a) Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên.

          b) Đặt $x_n=\dfrac{u_1}{u_2}+\dfrac{u_2}{u_3}+...+\dfrac{u_n}{u_{n+1}}.\,\forall n\in\mathbb{N^*}$. Tìm $\lim\,x_n$.

 

 

Câu a dễ rồi

Câu b

$\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n+1}u_{n}}=\frac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n+1}u_{n}}=\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}}$

$\Rightarrow limx_{n}=lim\left ( \frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{n+1}} \right )=\frac{1}{2}$ vì $limu_{n}=+\infty \left ( a \right )$

[Trung Gauss]

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH VÒNG 2

 Môn: Toán

 

NGÀY I

 

Câu 1 (5,0 điểm)

       Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$

 

Câu 2 (5,0 điểm)

       Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$ biết rằng: $$\begin{cases}x_0=1, x_1=5, x_2=125\\x_{n+2}x_nx_{n-1}=3(x_{n+1})^2x_{n-1}+10x_{n+1}(x_n)^2\end{cases}(n\in\mathbb{N^*})$$

 

Câu 3 (5,0 điểm)

      Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$. Gọị $d_1$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $OA$, $d_2$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $OB$, $d_3$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $OC$. Chứng minh rằng $d_1, d_2, d_3$ đồng qui.

 

Câu 4 (5, 0 điểm)

      Viết tất cả các số $\dfrac{1}{2014}, \dfrac{2}{2014},...,\dfrac{2014}{2014}$ lên bảng. Ta thực hiện công việc xóa đi hai số $a, b$ bất kỳ trên bảng đồng thời điền lên bảng một số mới là $a+b-2014ab$. Sau một số hữu hạn lần thực hiện, trên bảng chỉ còn một số. Số đó là số nào?

 

NGÀY II

 

Câu 1 (7,0 điểm)

     Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, biết rằng $f$ là hàm chẵn và thỏa mãn: $$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x+y)-2xy-1),\forall x, y\in \mathbb{R}$$

 

Câu 2 (6,0 điểm)

     Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn $a^4+b^4+c^4$ chia hết cho $9$. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số $a^2-b^2, b^2-c^2, c^2-a^2$ chia hết cho $9$.

 

Câu 3 (7,0 điểm)

     Cho viên gạch kích thước $1\times 4$ (hình A) và sàn nhà kích thước $10\times 10$ đã bị mất bốn ô vuông (hình B):

 

 

           (hình A)

 

                                          (hình B)

 

Chứng minh rằng không thể lát 24 viên gạch hình A thành sàn nhà như hình B được.

 

 

P/S: Đề ngày I chém ngon, đề ngày II làm chắc mỗi câu pt hàm, câu 2 làm dư trường hợp, câu 3 lập luận không chặt        

Edited by Trung Gauss, 02-11-2014 - 20:56.

[bestmather]

 

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH VÒNG 2

 Môn: Toán

 

NGÀY I

 

Câu 1 (5,0 điểm)

       Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$

 

 

 

lâu không chém!

$(\frac{a}{b^2+c^2})^2=(\frac{a}{3-a^2})^2=\frac{2a^4}{(3-a^2)^2.2a^2}\geq \frac{2a^4}{(\frac{3-a^2+3-a^2+2a^2}{3})^3}=\frac{a^4}{4} \Rightarrow P\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3}{2} .$

[hoctrocuaZel]

Câu 2 (6,0 điểm)

     Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn $a^4+b^4+c^4$ chia hết cho $9$. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số $a^2-b^2, b^2-c^2, c^2-a^2$ chia hết cho $9$.

 

Câu số học của Ngày 2:Câu 2/

Ta chứng minh đc. $a^2$ ($a^4$ cũng như thế) chia 9 nhận được số dư là $0;1;4;7$.

Vậy $a^4+b^4+c^4$ chia hết 9 khi ta có các số dư lần lượt là: $(4;4;1);(7;7;4);(1;1;7);(0;0;0)$

TH1: Nếu a,b,c chia hết cho 9. đpcm.

TH2:$a^4;b^4$ chia 9 dư 4. $c^4$ chia 9 dư 1$\rightarrow a^2;b^2\equiv 7(mod9)$

TH3: $a^4;b^4\equiv 7(mod9)\Rightarrow a^2;b^2\equiv 4(mod9)$

TH4: $a^4;b^4\equiv 1(mod9)\Rightarrow a^2;b^2\equiv 1(mod9)$

Vậy ta có đpcm

P/s: bài 4 ngày 1 giống đề thi chuyên Lam Sơn vào lớp 10~

[tohoproirac]

 

 

Câu 3 (7,0 điểm)

     Cho viên gạch kích thước $1\times 4$ (hình A) và sàn nhà kích thước $10\times 10$ đã bị mất bốn ô vuông (hình B):

 

 

           (hình A)

 

                                          (hình B)

 

Chứng minh rằng không thể lát 24 viên gạch hình A thành sàn nhà như hình B được.

 

 

P/S: Đề ngày I chém ngon, đề ngày II làm chắc mỗi câu pt hàm, câu 2 làm dư trường hợp, câu 3 lập luận không chặt        

 

 

nếu đúng như hình trên và lát được thì ta có nhận xét

 

vì 3 hàng dưới <4 nên chỉ cỏ thể lát ngang và sát vào rìa 2 bên

2 bên là 8 còn 2 ô ở giữa chỉ có thể lát dọc 

nhưng khi đó hàng thứ 4 từ dưới lên lại không thể lát ngang nên phải lát dọc ....cứ như vậy ra điều vô lí @@  đem màu vào tô được k =))

 

còn câu 4 ngày 1 giống đề tuyển sinh lớp 10  hà nội năm nay 

 

P/s: chém được hết còn mỗi bài hình nghĩ mãi không ra ý nào 

ôi kiếp dốt hình 

[ChiLanA0K48]

Câu 3 (5,0 điểm)

      Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$. Gọị $d_1$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $OA$, $d_2$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $OB$, $d_3$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $OC$. Chứng minh rằng $d_1, d_2, d_3$ đồng qui.

 

$d_1,d_2,d_3$ đồng qui tại tâm đường tròn $Euler$ của tam giác $ABC$

[Trung Gauss]

 

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH VÒNG 2

 Môn: Toán

 

NGÀY I

 

Câu 1 (5,0 điểm)

       Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$

 

 

 

    Cách khác cho bài này. Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $$\dfrac{a}{b^2+c^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}(a^2-1),\forall a>0$$ Thiết lập hai bdt tương tự từ đó suy ra: $P\ge\dfrac{3}{2}$

 

@ supermember: Bạn Trung Gauss này đừng lên diễn đàn post toàn thứ linh tinh như ở trên nhé .

Edited by supermember, 02-11-2014 - 18:56.

[E. Galois]

   Câu 5 (3,0 điểm)

         Tìm $m$ để đồ thị $(C_m)$ của hàm số $y=x^4-2(m-1)x^2+2m^2-m+1$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

Ta có:

$$y'= 4x^3 - 4(m-1)x = 4x(x^2-m+1)$$

Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là phương trình $y'=0$ có đúng 3 nghiệm. Điều này tương đương với:

$$m > 1, \text{    (1)}$$

Với điều kiện $(1)$, hàm số có ba điểm cực trị là $A(0;2m^2-m+1), B(-\sqrt{m-1}; m^2-m), C(\sqrt m; m^2-m)$.

Dễ thấy $H(0;m^2-m)$ là trung điểm $BC$. Tam giác $HAC$ vuông tại $H$ nên:

$$R = \frac{AB^2}{2AH} = \frac{m-1+(m^2+1)^2}{2(m^2+1)}$$

Khảo sát hàm số $g(m) = \frac{m-1+(m^2+1)^2}{2(m^2+1)}$

[einstein627]

 

 

Câu 1 (5,0 điểm)

       Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$

Nhìn đề em thấy mỗi bài 1 quen quen chắc còn phải cố gắng nhiều     
C3:
Xét số
$\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{3-a^2}$
Ta cần chứng minh
$\frac{a}{3-a^{2}}\geq\frac{a^{2}}{2}$
Thật vậy ta có
$\frac{a}{3-a^2}\geq \frac{a^2}{2}\Leftrightarrow a^4+2a\geq 3a^2$ (đúng theo bđt AM-GM cho 3 bộ $a^4;a;a$)
Tương tự ta có đpcm

Edited by einstein627, 07-11-2014 - 22:21.

[Trung Gauss]

Nhìn đề em thấy mỗi bài 1 quen quen chắc còn phải cố gắng nhiều     
C3:
Xét số
$\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{3-a^2}$
Ta cần chứng minh
$\frac{a}{3-a^{2}}\leq \frac{a^{2}}{2}$
Thật vậy ta có
$\frac{a}{3-a^2}\leq \frac{a^2}{2}\Leftrightarrow a^4+2a\geq 3a^2$ (đúng theo bđt AM-GM cho 3 bộ $a^4;a;a$)
Tương tự ta có đpcm

 

 Bạn chú ý dấu $\ge$ mới đúng chứ

Edited by Trung Gauss, 07-11-2014 - 22:14.

[E. Galois]

 

NGÀY II

 

Câu 1 (7,0 điểm)

     Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, biết rằng $f$ là hàm chẵn và thỏa mãn:

$$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x+y)-2xy-1),\forall x, y\in \mathbb{R} \quad \quad (1)$$

 

 

 

 

Thay $y$ bằng $-y$ vào $(1)$, ta có:

$$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x-y)+2xy-1) \quad \quad (2)$$

Trừ từng vế của $(2)$ cho $(1)$, ta có:

$$f(x+y)=f(x-y)+4xy, \forall x, y\in \mathbb{R} \quad \quad (3)$$

Thay $x=y$ vào $(3)$, ta có:

$$f(2x) = 4x^2+f(0), \forall x \in \mathbb{R}$$

Đổi biến, ta được:

$$f(x) = x^2 + f(0), \forall x \in \mathbb{R}$$

 

Thay $x=y=0$ vào $(1)$, ta có:

$$f(0)-[f(0)]^2 = 2014[f(0)-1] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  f(0) = 1 \\   f(0) =  - 2014   \end{array} \right.$$

 

Vậy các hàm số cần tìm là:

$$f(x)=x^2 +1 ; f(x) = x^2 - 2014$$

[nguyenhaan2209]

Bài hình 

Attached Images

• 

[toanhoc2017]

Cách khác cho bài này. Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $$\dfrac{a}{b^2+c^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}(a^2-1),\forall a>0$$ Thiết lập hai bdt tương tự từ đó suy ra: $P\ge\dfrac{3}{2}$

@ supermember: Bạn Trung Gauss này đừng lên diễn đàn post toàn thứ linh tinh như ở trên nhé .

.Chứng minh cái trên với

Edited by toanhoc2017, 30-07-2018 - 11:23.