Chủ đề này có 4 trả lời

[ThanhHieu1699]

$Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 CMR \frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

[Lam Ba Thinh]

$2.(\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2})\leq 2.(\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1})=3-(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1})\leq 3-\frac{9}{2(x+y+z)+3}\leq 3-\frac{9}{2.3.\sqrt[3]{xzy}+3}=3-\frac{9}{2.3.1+3}=2\Leftrightarrow \frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

[ThanhHieu1699]

$2.(\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2})\leq 2.(\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1})=3-(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1})\leq 3-\frac{9}{2(x+y+z)+3}\leq 3-\frac{9}{2.3.\sqrt[3]{xzy}+3}=3-\frac{9}{2.3.1+3}=2\Leftrightarrow \frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

chỗ kia sai dấu bạn ơi

[Mikhail Leptchinski]

$Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 CMR \frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

 

$2.(\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2})\leq 2.(\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1})=3-(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1})\leq 3-\frac{9}{2(x+y+z)+3}\leq 3-\frac{9}{2.3.\sqrt[3]{xzy}+3}=3-\frac{9}{2.3.1+3}=2\Leftrightarrow \frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

 

Bài này khá hay 

Đăt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}=>xyz=1$

Ta có:BĐT PCM <=>$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+2}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y^2}+2}+\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^2}+2}\leq 1<=>\frac{x}{2x^2+1}+\frac{y}{2y^2+1}+\frac{z}{2z^2+1}\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:

$B\leq \frac{x}{x^2+2x}+\frac{y}{y^2+2y}+\frac{z}{z^2+2z}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\leq 1$

BĐT này đã chứng minh tại đây

[phuc_90]

Với cùng điều kiện như trên, ta cũng có 1 bài BĐT na ná như sau

 

$\frac{a}{a^3+1}+\frac{b}{b^3+1}+\frac{c}{c^3+1}\leq \frac{3}{2}$

 

Liệu cách giải trên còn áp dụng được cho bài này ?