Chủ đề này có 7 trả lời

[trauvang97]

Chứng minh rằng với mọi số dương $x$, bất đẳng thức sau luôn đúng

 

$e^{x}>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$

[dogsteven]

Định lý: Nếu hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ khả tích trên $[a;b]$ và $f(x) \geqslant g(x)\;\;\;\forall\;\;x\in[a;b]$ thì $\int\limits_{a}^{b}f(x) \text{dx}> \int\limits_{a}^{b} g(x) \text{dx}$

 

Trở lại bài toán:

 

Với $0\leqslant t \leqslant x$ thì $e^{t} \ge e^{0} \Rightarrow e^{x}\geqslant x+1$

 

Vậy BDT đúng khi $n=1$

 

Giả sử BDT đúng đến $n=k$

 

Lúc này ta có $e^{x} \geqslant 1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}$

 

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{x}e^t \text{dt} \geqslant \int\limits_{0}^{x}\left(1+ \dfrac{t}{1!}+\dfrac{t^2}{2!}+...+\dfrac{t^n}{n!}\right ) \text{dt}$

 

$\Leftrightarrow e^x-1\geqslant x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)k!}$

 

$\Leftrightarrow e^{x} \geqslant1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}$

 

Vậy BDT đúng với $n=k+1$ nên theo nguyên lý Quy nạp BDT đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x\to 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 03-10-2014 - 19:07

[barcavodich]

Ta có nếu $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ 

Khi đó $f(x)=a_0+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ (KHAI TRIỂN TAYLOR)

Áp dụng với hàm số $f(x)=e^x$

$\Rightarrow e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}> 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$

(ĐPCM)

[Nxb]

Ta có nếu $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ 

Khi đó $f(x)=a_0+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ (KHAI TRIỂN TAYLOR)

Áp dụng với hàm số $f(x)=e^x$

$\Rightarrow e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}> 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$

(ĐPCM)

Cái bạn dùng không phải khai triển Taylor. Và kể cả thế cũng không áp dụng được cho bên dưới vì khi đó f không còn là hàm đa thức. 

 

Định lý: Nếu hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ khả tích trên $[a;b]$ và $f(x) \geqslant g(x)\;\;\;\forall\;\;x\in[a;b]$ thì $\int\limits_{a}^{b}f(x) \text{dx}> \int\limits_{a}^{b} g(x) \text{dx}$

 

Trở lại bài toán:

 

Với $0\leqslant t \leqslant x$ thì $e^{t} \ge e^{0} \Rightarrow e^{x}\geqslant x+1$

 

Vậy BDT đúng khi $n=1$

 

Giả sử BDT đúng đến $n=k$

 

Lúc này ta có $e^{x} \geqslant 1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}$

 

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{x}e^t \text{dt} \geqslant \int\limits_{0}^{x}\left(1+ \dfrac{t}{1!}+\dfrac{t^2}{2!}+...+\dfrac{t^n}{n!}\right ) \text{dt}$

 

$\Leftrightarrow e^x-1\geqslant x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)k!}$

 

$\Leftrightarrow e^{x} \geqslant1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}$

 

Vậy BDT đúng với $n=k+1$ nên theo nguyên lý Quy nạp BDT đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x\to 0$

Làm thế này thì vẫn không bỏ được dấu bằng. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 09-11-2014 - 22:29

[dogsteven]

Cái bạn dùng không phải khai triển Taylor. Và kể cả thế cũng không áp dụng được cho bên dưới vì khi đó f không còn là hàm đa thức. 

 

Làm thế này thì vẫn không bỏ được dấu bằng. 

/=

Vậy chẵng lẽ dấu bằng xảy ra mà vẫn nói không xảy ra à?

[Nxb]

/=

Vậy chẵng lẽ dấu bằng xảy ra mà vẫn nói không xảy ra à?

x>0 mà bạn làm sao xảy ra dấu bằng được.

[dogsteven]

x>0 mà bạn làm sao xảy ra dấu bằng được.

Thì ai nói $x=0$, $x\to 0$ mà anh.

[Nxb]

Thì ai nói $x=0$, $x\to 0$ mà anh.

Đó là giới hạn bằng nhau chứ có phải dấu bằng của bất đẳng thức đâu. Thứ nữa là định lý của bạn sai có thế xảy ra dấu bằng nhưng đến khi áp dụng xuống dưới bạn cần bỏ dấu bằng thì không bỏ. Vấn đề ở chỗ ta chỉ có $f>g$ thì tích phân của f lớn hơn tích phân của g. Nhưng e^0=0+1 nên lúc chuyển qua tích phân thì dấu bằng có thể tồn tại. Nhưng câu trả lời là không thể tồn tại được vì giá trị của tích phân không thay đổi khi ta thay đổi hàm tại hữu hạn giá trị. Tóm lại là bài của bạn vẫn chưa chứng minh được điều ta cần là phải bỏ được dấu bằng. Tất nhiên chứng minh của bạn không sai nhưng bạn không chứng minh được điều ta cần mà chứng minh điều yếu hơn. Trong nhiều trường hợp bỏ được dấu bằng rất quan trọng đấy.