4 replies to this topic

[NgocHieuKHTN]

Cho ba số a,b,c là các số thực dương

CMR

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

 

bài này mình đổi biến nhưng thấy nó dài, ai nghĩ được cách j hay hay nhào zô , càng xúc tích càng hay

[Namthemaster1234]

Giả sử $a\geq b\geq c$

 

Trước hết ta chứng minh: $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}$

 

Điều này xảy ra $<=> ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\geq 0 <=> (a-b)(b-c)(a-c)\geq 0$ (Luôn đúng, vì theo điều giả sử)

 

Vậy từ điều cm trên ta suy ra:

 

$\frac{3}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\geq \frac{3}{2}(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})<=> 3(\frac{a}{c}+\frac{b} {a}+\frac{c}{b})\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b})$

 

Giờ ta chỉ cần chứng minh:

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq 3(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})$

 

Điều này đúng khi bạn chứng minh bằng cách áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$

 

BĐT đã CM xong

Edited by Namthemaster1234, 03-10-2014 - 22:49.

[lahantaithe99]

Cho ba số a,b,c là các số thực dương

CMR

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

 

bài này mình đổi biến nhưng thấy nó dài, ai nghĩ được cách j hay hay nhào zô , càng xúc tích càng hay

 

Cách khác: Sử dụng $AM-GM$

 

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}\geqslant \frac{3a}{b}$

 

Tương tự và cộng theo vế thu được:

 

$\sum \frac{a^2}{b^2}\geqslant \frac{3}{2}\sum \frac{a}{b}-\frac{1}{2}\sum \frac{b}{a}\Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geqslant \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

 

(đpcm)

------------------------------------------------------

P/s: đề nghị sửa lại tiêu đề

Edited by lahantaithe99, 03-10-2014 - 23:33.

[NgocHieuKHTN]

cách hay đấy lahantaithe

[CandyPanda]

Giả sử $a\geq b\geq c$

 

Trước hết ta chứng minh: $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}$

 

Điều này xảy ra $<=> ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\geq 0 <=> (a-b)(b-c)(a-c)\geq 0$ (Luôn đúng, vì theo điều giả sử)

 

Vậy từ điều cm trên ta suy ra:

 

$\frac{3}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\geq \frac{3}{2}(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})<=> 3(\frac{a}{c}+\frac{b} {a}+\frac{c}{b})\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b})$

 

Giờ ta chỉ cần chứng minh:

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq 3(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})$

 

Điều này đúng khi bạn chứng minh bằng cách áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$

 

BĐT đã CM xong

a,b,c là 3 số hoán vị vòng quanh nên không thể giả sử như trên được nhé