Giả sử $a\geq b\geq c$
Trước hết ta chứng minh: $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}$
Điều này xảy ra $<=> ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\geq 0 <=> (a-b)(b-c)(a-c)\geq 0$ (Luôn đúng, vì theo điều giả sử)
Vậy từ điều cm trên ta suy ra:
$\frac{3}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\geq \frac{3}{2}(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})<=> 3(\frac{a}{c}+\frac{b} {a}+\frac{c}{b})\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b})$
Giờ ta chỉ cần chứng minh:
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq 3(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})$
Điều này đúng khi bạn chứng minh bằng cách áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$
BĐT đã CM xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 03-10-2014 - 22:49