Chủ đề này có 1 trả lời

[tohoproirac]

Cho tam giác ABC với C, B cố định và BC = 2a. Đỉnh A di động sao cho trung điểm K của đoạn HG nằm trên BC với H, G lần lượt là trực tâm, trọng tâm tam giác ABC. TÌm quỹ tích A

 

[ChiLanA0K48]

Cho tam giác ABC với C, B cố định và BC = 2a. Đỉnh A di động sao cho trung điểm K của đoạn HG nằm trên BC với H, G lần lượt là trực tâm, trọng tâm tam giác ABC. TÌm quỹ tích A

 

Chọn hệ trục $Oxy$ với $O$ là trung điểm $BC$, trục $Ox\equiv BC$

Đặt $A(x_a;y_a)$; $B(-a;0)$; $C(a;0)$

Phương trình đường thẳng $AH$ là $y=y_a$

Phương trình đường thẳng $AC$ có dạng $\frac{x-x_a}{a-y_a}=\frac{y-y_a}{-ya}$$\Leftrightarrow y_ax+(a-x_a)y-ay_a=0$

Từ đó viết đc phương trình đường thẳng $BH$ là: $(a-x_a)x-y_ay+a^{2}-ax_a=0$

suy ra tọa độ trực tâm $H$ là $\left (\frac{y_a^{2}}{a-x_a}-a;y_a \right )$

Tọa độ trọng tâm $G$ là $\left ( \frac{x_a}{3};\frac{y_a}{3} \right )$

Phương trình đường thẳng $Euler$ của tam giác là $\frac{x-\frac{x_a}{3}}{\frac{y_a^2}{a-x_a}-a-\frac{x_a}{3}}=\frac{y-\frac{y_a}{3}}{y_a-\frac{y_a}{3}}\Leftrightarrow 2y_ax-x_ay_a=3y\left ( \frac{3y_a^2}{a-x_a}-3a-x_a \right )+-\frac{y_a^3}{a-x_a}+ay_a$

Tọa độ giao điểm của $GH$ với $BC$ là $\left ( \frac{-y_a^2}{2(a-x_a)}+\frac{a}{2}-\frac{x_a}{2} \right;0 )$

Tọa độ trung điểm $GH$ là $\left ( \frac{y_a^2}{2(a-x_a)}-\frac{a}{2}+\frac{x_a}{6};\frac{2y_a}{3} \right )$

Trung điểm $GH$ thuộc $BC$ suy ra $\frac{-y_a^2}{2(a-x_a)}+\frac{a}{2}-\frac{x_a}{2}=\frac{y_a^2}{2(a-x_a)}-\frac{a}{2}+\frac{x_a}{6}\Leftrightarrow \frac{y_a^2}{a-x_a}=a-\frac{2}{3}x_a\Leftrightarrow y_a^{2}=a^2-\frac{5}{3}ax_a+\frac{2}{3}x_a^2$

 

Biến đổi suy ra quỹ tích $A$ là một hình hyperbole

 

P/s: Cách này có vẻ không hay lắm nhưng ra gợi ý quỹ tích là hình hyperbole và xác định được tiêu điểm, tiêu cự