Chủ đề này có 2 trả lời

[ngocvan99]

Cho $x,y,z\geq0$ ; $x+y+z=1$ .

Chứng minh rằng : $xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$

[dogsteven]

Cách 1: Áp dụng BDT Schur: $q-2r \leqslant q- \dfrac{2}{9}(4q-1)=\dfrac{q}{9}+\dfrac{2}{9}\leqslant \dfrac{7}{27}$

 

Cách 2: $f(x;y;z)=xy+yz+zx-2xyz$

 

Đặt $x+2t=1$ và giả sử $x\leqslant y,z$

 

$f(x;y;z)-f(x;t;t)=\dfrac{2x-1}{4}.(y-z)^2 \leqslant 0$

 

$\Leftrightarrow f(x;y;z) \leqslant f(x;t;t)=2tx+t^2-2xt^2\leqslant \dfrac{7}{27} \Leftrightarrow \left (t-\dfrac{7}{12} \right)\left(t-\dfrac{1}{3} \right)^2 \leqslant 0$ (đúng vì $x=1-2t \geqslant 0 \Leftrightarrow t \leqslant \dfrac{1}{2} < \dfrac{7}{12}$)

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

[killerdark68]

Cho $x,y,z\geq0$ ; $x+y+z=1$ .

Chứng minh rằng : $xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$

ta có

$ \prod (a+b-c)\leq \prod a$

$ \Rightarrow \prod (1-2c)\leq abc$

$ \Rightarrow 1+4(ab+bc+ca)-2(a+b+c)-8abc\leq abc$

$ \Rightarrow 4(ab+bc+ca-2abc)\leq abc+2(a+b+c)-1$$ \leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}+2(a+b+c)-1 =\frac{28}{27}$

$ \Rightarrow ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$