Chủ đề này có 1 trả lời

[morningstar]

Cho các số thực dương a,b,c thay đổi thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=14$

Tìm GTLN của biểu thức

P= $\frac{4\left ( a+c \right )}{a^{2}+3c^{2}+28} + \frac{4a}{a^{2}+bc+7} - \frac{5}{\left ( a+b \right )^{2}}-\frac{3}{a\left ( b+c \right )}$

[Hoang Tung 126]

Cho các số thực dương a,b,c thay đổi thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=14$

Tìm GTLN của biểu thức

P= $\frac{4\left ( a+c \right )}{a^{2}+3c^{2}+28} + \frac{4a}{a^{2}+bc+7} - \frac{5}{\left ( a+b \right )^{2}}-\frac{3}{a\left ( b+c \right )}$

   Ta sẽ CM : $P\leq \frac{8}{15}$

 

 Ta có : $(a+c)^2=(a+c\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}})^2\leq (a^2+3c^2)(1+\frac{1}{3})= > a^2+3c^2\geq \frac{3(a+c)^2}{4}= > \frac{ 4(a+c)}{a^2+3c^2+28}\leq \frac{4(a+c)}{\frac{3(a+c)^2}{4}+28}=\frac{16(a+c)}{3(a+c)^2+112}=\frac{16(a+c)}{3\left [ (a+c)^2+16 \right ]+64}\leq \frac{16(a+c)}{3.2.\sqrt{16(a+c)^2}+64}=\frac{2(a+c)}{3(a+c)+8}$  (1)

 

        $\frac{4a}{a^2+bc+7}=\frac{8a}{2a^2+2bc+14}=\frac{8a}{2a^2+2bc+a^2+b^2+c^2}=\frac{8a}{3a^2+(b+c)^2}\leq \frac{8a}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{4}{a+b+c}$  (2)

 

        $\frac{3}{a(b+c)}\geq \frac{3}{\frac{(a+b+c)^2}{4}}=\frac{12}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{3}(\frac{6}{a+b+c}-1)^2+\frac{4}{a+b+c}-\frac{1}{3}\geq \frac{4}{a+b+c}-\frac{1}{3}= > -\frac{3}{a(b+c)}\leq \frac{1}{3}-\frac{4}{a+b+c}$    (3)

 

       $\frac{5}{(a+b)^2}+\frac{1}{5}\geq 2\sqrt{\frac{5}{(a+b)^2}.\frac{1}{5}}=\frac{2}{a+b}= > -\frac{5}{(a+b)^2}\leq \frac{1}{5}-\frac{2}{a+b}$   (4)

    Cộng theo vế (1) ,(2),(3) (4)

 

$= > P\leq \frac{2(a+c)}{3(a+c)+8}+\frac{4}{a+b+c}-\frac{4}{a+b+c}+\frac{1}{3}-\frac{2}{a+b}+\frac{1}{5}\leq \frac{5}{18}< = > \frac{a+c}{3(a+c)+8}-\frac{1}{a+b}\leq 0< = > (a+c)(a+b)-(3(a+c)+8)\leq 0< = > (a+c)(a+b-3)\leq 8< = > (a+c)(2a+2b-6)\leq 16$

 

Theo AM-GM có :

 

 $(a+c)(2a+2b-6)\leq \frac{(3a+2b+c-6)^2}{4}\leq 16< = > (3a+2b+c)^2-12(3a+2b+c)-28\leq 0< = > (3a+2b+c-14)(3a+2b+c+2)\leq 0< = > 3a+2b+c\leq 14$

 

Nhưng BĐT này luôn đúng vì $3a+2b+c\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(3^2+2^2+1^2)}=14$

 

   Do đó ta có ĐPCM .

 

 Dấu  =  xảy ra tại $a=3,b=2,c=1$