Chủ đề này có 1 trả lời

[Elaine Nguyen]

Tính $1,\, \lim_{x\to 1}\frac{(x ^{x}-1)}{x\ln x}$

$2,\, \lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{\sin ^{3x}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 05-11-2014 - 08:05

[Mrnhan]

Tính $1,\, \lim_{x\to 1}\frac{(x ^{x}-1)}{x\ln x}$

$2,\, \lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{\sin ^{3}x}}$

 

Câu 1. Cái này cho $x\to0$ mới hay, chứ cho $x\to$ thì đơn giản hơn nhiều.

 

Đầu tiên tính $$\lim_{x\to 0} x\ln x=\lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0}x =0$$

 

Đặt $t=x\ln x$ thì 

 

$$\lim_{x\to 1}\frac{(x ^{x}-1)}{x\ln x}=\lim_{x\to 1}\frac{(e ^{x\ln x}-1)}{x\ln x}=\lim_{t\to 0} \frac{e^t-1}{t}=1$$

 

Câu 2. 

 

$$\lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{\sin ^{3}x}}=\lim_{x\to 0}\left [ \left ( 1+\frac{\tan x-\sin x}{1+\sin } \right )^{\frac{1+\sin x}{\tan x-\sin x}} \right ]^{\frac{(\tan x-\sin x)}{\sin^3x(1+\sin x)}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x(1+\sin x)}}$$

 

Ta chỉ cần tính $$\lim_{x\to 0}{\frac{1}{1+\sin x}}=1$$

 

$$\lim_{x\to 0}{\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}}=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2x}-\cos x}{3\sin^2x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^3x}{3\left ( 1-\cos^2x \right )\cos^3x}=\frac{1+\cos x+\cos^2x}{3(1+\cos x)\cos^3x}=\frac{1}{2}$$

 

Vậy $$\lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{\sin ^{3}x}}=\sqrt{e}$$