Chủ đề này có 4 trả lời

[kunkon2901]

Bài 1: Cho P(x)=$(1+x)+2(1+x)^{2}+3(1+x)^{3}+...+15(1+x)^{15}$
Viết P(x) dưới dạng P(x)=$a_{o}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{15}x^{15}$
Tính hệ số a₁₀

Bài 2: Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối.

[Kool LL]

Bài 1: Cho P(x)=$(1+x)+2(1+x)^{2}+3(1+x)^{3}+...+15(1+x)^{15}$ (1)
Viết P(x) dưới dạng P(x)=$a_{o}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{15}x^{15}$ (2)
Tính hệ số a₁₀

Bài 2: Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối.

 

1) Từ dạng (2) ta có $P^{(10)}(x)=(10)...(1).a_{10}+(11)...(2).a_{11}.x^{1}+...+(15)...(6).a_{15}.x^{5}$. Suy ra $a_{10}=\frac{P^{(10)}(0)}{10!}$

Mặt khác từ (1) : $P^{(10)}(x)=10.(10)...(1)+11.(11)...(2).(1+x)^{1}+...+15.(15)...(6).(1+x)^{5}$. Suy ra $P^{(10)}(0)=10.10!+11.\frac{11!}{1!}+...+15.\frac{15!}{5!}$

Vậy $a_{10}=10.\frac{10!}{10!0!}+11.\frac{11!}{10!1!}+...+15.\frac{15!}{10!5!}$ $=10.C_{10}^{10}+11.C_{11}^{10}+...+15.C_{15}^{10}=63700$

 

$\boxed{C2}$ : $P(x)=\sum_{k=0}^{15}(k+1).(1+x)^k-\sum_{k=0}^{15}(1+x)^k$ $=Q(x)-R(x)$

Trong đó :

$R(x)=\sum_{k=0}^{15}(1+x)^k=\frac{(1+x)^{16}-1}{(1+x)-1}$ $=\frac{\sum_{k=1}^{16}C_{16}^{k}.x^k}{x}$ $=\sum_{k=1}^{16}C_{16}^{k}.x^{k-1}$ $=\sum_{k=0}^{15}C_{16}^{k+1}.x^{k}$

$Q(x)=\sum_{k=0}^{15}(k+1).(1+x)^k=\left[\sum_{k=1}^{16}(1+x)^{k}\right]'$ $=\left[\frac{(1+x)^{17}-(1+x)^1}{x}\right]'$ $=\left[16+\sum_{k=1}^{16}C_{17}^{k+1}x^{k}\right]'$ $=\sum_{k=1}^{16}k.C_{17}^{k+1}x^{k-1}$ $=\sum_{k=0}^{15}(k+1).C_{17}^{k+2}x^{k}$

Suy ra $P(x)=\sum_{k=0}^{15}\left[(k+1)C_{17}^{k+2}-C_{16}^{k+1}\right]x^{k}$

Vậy $a_{10}=11.C_{17}^{12}-C_{16}^{11}=63700$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 22-10-2014 - 12:04

[Kool LL]

Bài 2: Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối.

 

Xét $N=\overline{abcd}$ với $a\ge1$ và $a+b=c+d=k\in S=\{1;2;...;18\}$

$\boxed{}$ Nếu $k=2n$ $(1\le n\le9)$ thì có $n+1$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số, trong đó có $n$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số khác nhau, $1$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số bằng nhau

$k=k+0=(k-1)+1=...=(n+1)+(n-1)=n+n$

Chọn bộ $\overline{ab}$ có $2n$ (cách), chọn bộ $\overline{cd}$ có $2n+1$ (cách)

Suy ra TH này có số cách tạo $N$ là : $\sum_{n=1}^{9}2n(2n+1)$

 

$\boxed{}$ Nếu $k=2n+1$ $(0\le n\le8)$ thì có $n+1$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số, và hai số đó luôn khác nhau.

$k=k+0=(k-1)+1=...=(n+1)+n$

Chọn bộ $\overline{ab}$ có $2n+1$ (cách), chọn bộ $\overline{cd}$ có $2n+2$ (cách)

Suy ra TH này có số cách tạo $N$ là : $\sum_{n=0}^{8}(2n+1)(2n+2)$

Suy ra số cách tạo $N$ là : $\sum_{n=1}^{9}2n(2n+1)+\sum_{n=0}^{8}(2n+1)(2n+2)$ $=\sum_{k=1}^{18}k.(k+1)=\frac{18.19.20}{3}=2280$ (cách).

 

Do ta có công thức : $T=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

CM:

$T=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)$$=\frac{\sum_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1)-n}{3}$$=\frac{\sum_{k=1}^{n}\left[(k+1)^3-k^3\right]-n}{3}$$=\frac{(n+1)^3-1-n}{3}$$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

[kunkon2901]

1) Từ dạng (2) ta có $P^{(10)}(x)=(10)...(1).a_{10}+(11)...(2).a_{11}.x^{1}+...+(15)...(6).a_{15}.x^{5}$. Suy ra $a_{10}=\frac{P^{(10)}(0)}{10!}$

Mặt khác từ (1) : $P^{(10)}(x)=10.(10)...(1)+11.(11)...(2).(1+x)^{1}+...+15.(15)...(6).(1+x)^{5}$. Suy ra $P^{(10)}(0)=10.10!+11.\frac{11!}{1!}+...+15.\frac{15!}{5!}$

Vậy $a_{10}=10.\frac{10!}{10!0!}+11.\frac{11!}{10!1!}+...+15.\frac{15!}{10!5!}$ $=10.C_{10}^{10}+11.C_{11}^{10}+...+15.C_{15}^{10}=63700$

 

$\boxed{C2}$ : $P(x)=\sum_{k=0}^{15}(k+1).(1+x)^k-\sum_{k=0}^{15}(1+x)^k$ $=Q(x)-R(x)$

Trong đó :

$R(x)=\sum_{k=0}^{15}(1+x)^k=\frac{(1+x)^{16}-1}{(1+x)-1}$ $=\frac{\sum_{k=1}^{16}C_{16}^{k}.x^k}{x}$ $=\sum_{k=1}^{16}C_{16}^{k}.x^{k-1}$ $=\sum_{k=0}^{15}C_{16}^{k+1}.x^{k}$

$Q(x)=\sum_{k=0}^{15}(k+1).(1+x)^k=\left[\sum_{k=1}^{16}(1+x)^{k}\right]'$ $=\left[\frac{(1+x)^{17}-(1+x)^1}{x}\right]'$ $=\left[16+\sum_{k=1}^{16}C_{17}^{k+1}x^{k}\right]'$ $=\sum_{k=1}^{16}k.C_{17}^{k+1}x^{k-1}$ $=\sum_{k=0}^{15}(k+1).C_{17}^{k+2}x^{k}$

Suy ra $P(x)=\sum_{k=0}^{15}\left[(k+1)C_{17}^{k+2}-C_{16}^{k+1}\right]x^{k}$

Vậy $a_{10}=11.C_{17}^{12}-C_{16}^{11}=63700$

 

Xét $N=\overline{abcd}$ với $a\ge1$ và $a+b=c+d=k\in S=\{1;2;...;18\}$

$\boxed{}$ Nếu $k=2n$ $(1\le n\le9)$ thì có $n+1$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số, trong đó có $n$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số khác nhau, $1$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số bằng nhau

$k=k+0=(k-1)+1=...=(n+1)+(n-1)=n+n$

Chọn bộ $\overline{ab}$ có $2n$ (cách), chọn bộ $\overline{cd}$ có $2n+1$ (cách)

Suy ra TH này có số cách tạo $N$ là : $\sum_{n=1}^{9}2n(2n+1)$

 

$\boxed{}$ Nếu $k=2n+1$ $(0\le n\le8)$ thì có $n+1$ (cách) phân tích $k$ thành tổng hai số, và hai số đó luôn khác nhau.

$k=k+0=(k-1)+1=...=(n+1)+n$

Chọn bộ $\overline{ab}$ có $2n+1$ (cách), chọn bộ $\overline{cd}$ có $2n+2$ (cách)

Suy ra TH này có số cách tạo $N$ là : $\sum_{n=0}^{8}(2n+1)(2n+2)$

Suy ra số cách tạo $N$ là : $\sum_{n=1}^{9}2n(2n+1)+\sum_{n=0}^{8}(2n+1)(2n+2)$ $=\sum_{k=1}^{18}k.(k+1)=\frac{18.19.20}{3}=2280$ (cách).

 

Do ta có công thức : $T=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

CM:

$T=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)$$=\frac{\sum_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1)-n}{3}$$=\frac{\sum_{k=1}^{n}\left[(k+1)^3-k^3\right]-n}{3}$$=\frac{(n+1)^3-1-n}{3}$$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

KHÓ HIỂU QUÁ Ạ? CÓ CÁCH KHÁC KHÔNG Ạ? P Ở BÀI 1 NGHĨ  LÀ GÌ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kunkon2901: 23-10-2014 - 21:51

[Kool LL]

KHÓ HIỂU QUÁ Ạ? CÓ CÁCH KHÁC KHÔNG Ạ? P Ở BÀI 1 NGHĨ  LÀ GÌ?

 

A làm chi tiết vậy mà e đọc ko hiểu sao!? Vậy theo a nghĩ e ko phải học chuyên toán rồi. Thế sao lại có đề 2 bài chuyên này vậy e !?

E đọc phần nào chưa hiểu thì hỏi a giải thích rõ thêm. Mà tốt nhất thì e nên tìm đọc lý thuyết trước đã. Với a thì bài giải đã rất chi tiết rồi đó e.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 24-10-2014 - 05:32