Binh nhất
Biết $1+a+...+a^{n}+...=M (\left | a \right |< 1),1+b+...+b^{n}+...=N (\left | b \right |<1)$
Tính $1+ab+...+a^{n}b^{n}+... $ theo M và N.
@note: Chỉ bỏ những công thức trong 2 dấu dola, còn văn bản thì bỏ ngoài 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 27-10-2014 - 14:41
$\text{Uchiha Itachi}$
Biết $1+a+...+a^{n}+...=M (\left | a \right |< 1),1+b+...+b^{n}+...=N (\left | b \right |<1)$
Tính $1+ab+...+a^{n}b^{n}+... $ theo M và N.
@note: Chỉ bỏ những công thức trong 2 dấu dola, còn văn bản thì bỏ ngoài
Ta có 3 chuỗi đều hội tụ và
$$M=1+a+...a^{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty}a^n=\frac{1}{1-a}\Rightarrow a=1-\frac{1}{M}$$
$$N=1+b+...b^{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty}b^n=\frac{1}{1-b}\Rightarrow b=1-\frac{1}{N}$$
$$S=1+ab+...(ab)^{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty}(ab)^n=\frac{1}{1-ab}=\frac{1}{1-\left ( 1- \frac{1}{M}\right )\left ( 1- \frac{1}{N}\right )}=\frac{MN}{M+N-1}$$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
