Đề thi chọn đột tuyển Hà Nội vòng 2 năm học 2014-2015
Đề thi chọn đội tuyển HSG QG Hà Nội năm học 2014-2015
#1
Đã gửi 28-10-2014 - 11:50
- rainbow99, hoctrocuaZel, chardhdmovies và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 28-10-2014 - 11:55
--Hết--
- Zaraki, LNH, phatthemkem và 8 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 28-10-2014 - 14:56
ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2014-2015Ngày thi: 28/10/2014Thời gian làm bài: 180 phútBài III: (3 điểm)Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ac$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a+b+c+\frac{1}{abc}-\frac{9}{a+b+c}.$$
Từ gt ta có $a^{2}-2a(b+c)+(b+c)^{2}=4bc\Leftrightarrow (a-b-c)^{2}=(2\sqrt{bc})^{2}\Leftrightarrow a=(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$ hoặc $b+c-2\sqrt{bc}=a\Leftrightarrow \sqrt{b}=\sqrt{a}+\sqrt{c}$
Giả sử $\sqrt{a}=\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Ta chứng minh $2(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{16abc}$
Thật vậy $2a+2b+2c=a+2(b+c)+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\geq a+8\sqrt{bc}=a+4\sqrt{bc}+4\sqrt{bc}\geq 3\sqrt[3]{16abc}$
Do đó $(a+b+c)^{3}\geq 54abc\$\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{54}{(a+b+c)^{3}}$
Đặt $a+b+c=t\Rightarrow t\geq \sqrt{3}$ vì $(a+b+c)^{2}=4(ab+bc+ac)\leq \frac{4}{3}(a+b+c)^{2}$
Xét hàm $f(t)=t+\frac{54}{t^{3}}-\frac{9}{t};f(t)'=1-\frac{162}{t^{4}}+\frac{9}{t^{2}}=0\Leftrightarrow t=3$
$\Rightarrow f(t)\geq f(3)$
Dấu = xảy ra khi $a=4b=4c;a+b+c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 28-10-2014 - 15:09
- supermember, 19kvh97, shinichigl và 4 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 28-10-2014 - 15:05
Từ gt ta có $a^{2}-2a(b+c)+(b+c)^{2}=4bc\Leftrightarrow (a-b-c)^{2}=(2\sqrt{bc})^{2}\Leftrightarrow a=(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$ hoặc $b+c-2\sqrt{bc}=a\Leftrightarrow \sqrt{b}=\sqrt{a}+\sqrt{c}$
Giả sử $\sqrt{a}=\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Ta chứng minh $2(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{16abc}$
Thật vậy $2a+2b+2c=a+2(b+c)+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\geq a+8\sqrt{bc}=a+4\sqrt{bc}+4\sqrt{bc}\geq 3\sqrt[3]{16abc}$
Do đó $(a+b+c)^{3}\geq 54abc\Rightarrow \frac{1}{abc}\leq \frac{1}{54(a+b+c)^{3}}$
Đặt $a+b+c=t\Rightarrow t\geq \sqrt{3}$ vì $(a+b+c)^{2}=4(ab+bc+ac)\leq \frac{4}{3}(a+b+c)^{2}$
Xét hàm $f(t)=t+\frac{54}{t^{3}}-\frac{9}{t};f(t)'=1-\frac{162}{t^{4}}+\frac{9}{t^{2}}=0\Leftrightarrow t=3$
$\Rightarrow f(t)\geq f(3)$
Dấu = xảy ra khi $a=4b=4c;a+b+c=3$
Bài làm của bạn có khá nhiều lỗi sai
#5
Đã gửi 28-10-2014 - 20:12
Bài I: (2 điểm)Xác định tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại số tự nhiên $m$ để $m^2+9$ chia hết cho $2^n-1$
p là 1 ước nguyên tố của n
Rõ ràng $2^{p}-1$ tồn 1 ước nguyên tố 4s-1
$\Rightarrow m^{2}+9\equiv 0 (mod 4s-1)$
+Nếu m không chia hết cho 4s-1, áp dụng định lí Fermat ta có điều vô lí.
+$m\vdots 4s-1\Rightarrow 3\vdots 4s-1\Rightarrow 4s-1=3$
Nên p=2, nếu n có 1ước lẻ ta có điều vô lí
Vậy n=$2^{k}$
- xuanhoan23112002 và yeutoan2001 thích
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
#6
Đã gửi 28-10-2014 - 21:08
ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2014-2015Ngày thi: 28/10/2014Thời gian làm bài: 180 phútBài V: (4 điểm)Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=2015;u_{n+1}=u_n^2-2014u_n+2014 \; \forall n\in \mathbb{N}$$Chứng minh với mọi $n$ nguyên dương các số $u_1,u_2,...u_n$ đôi một nguyên tố cùng nhau.
--Hết--
cả đề làm được mỗi câu này :
dễ cm $u_n$ là dãy nguyên
Gọi $(u_n;u_{n+1})=d$ từ hệ thức truy hồi suy ra $d \in Ư(2014)$
mặt khác từ hệ thức truy hồi ta có $u_{n+1}-u^2_n \vdots 2014$ do đó $u_n\equiv u^{2^{n-1}}_1\equiv 1 (mod 2014)$
từ 2 điều trên suy ra $d$ chỉ có thể bằng $1$ đpcm
- motdaica, mnguyen99 và chardhdmovies thích
#7
Đã gửi 28-10-2014 - 21:09
p là 1 ước nguyên tố của n
Rõ ràng $2^{p}-1$ tồn 1 ước nguyên tố 4s-1
$\Rightarrow m^{2}+9\equiv 0 (mod 4s-1)$
+Nếu m không chia hết cho 4s-1, áp dụng định lí Fermat ta có điều vô lí.
+$m\vdots 4s-1\Rightarrow 3\vdots 4s-1\Rightarrow 4s-1=3$
Nên p=2, nếu n có 1ước lẻ ta có điều vô lí
Vậy n=$2^{k}$
còn đoạn chứng minh luôn tồn tại m để m2+9 chia hết cho 2n-1 nữa bạn
- mnguyen99 yêu thích
#8
Đã gửi 28-10-2014 - 22:00
Bài IV: (4 điểm)Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ thỏa mãn $AB<BD$ và $CA=CD.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ cắt $AB$ tại $F$ ($F$ khác $A,F$ khác $B$). Chứng minh rằng các đường thẳng $AI$ và $EF$ vuông góc với nhau.
Gọi $J$ là giao điểm $CE$ và $(O)$
Suy ra $J$ là điểm chính giữa cung $AD$ suy ra $IJ=IA$
Dễ dàng chứng minh $C,O,E,J$ thẳng hàng
$\angle FBI=\angle FCI\Rightarrow \angle FCI= \angle ACE\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta IFC\sim \Delta ACE\\\angle AFC=\angle ICE \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \Delta ACF\sim \Delta JCI $
cũng dễ dàng chứng minh $\Delta IFC\sim \Delta JAC$
Từ các tam giác đồng dạng ta có:
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{AE}{IF}=\frac{CA}{CI}\\ \frac{AF}{IJ}= \frac{AC}{JC}\\ \frac{IF}{JA}=\frac{CI}{CJ} \end{matrix}\right.\Rightarrow AE=AF$
suy ra tam giác $AEF$ cân tại $A$ mà $AI$ là phân giác góc $EAF$ suy ra $AI\perp EF$
P/s: Không biết có sai ở đâu ko mong mọi người chỉ giúp
- binvippro, LNH, quanghung86 và 3 người khác yêu thích
#9
Đã gửi 29-10-2014 - 16:38
còn đoạn chứng minh luôn tồn tại m để m2+9 chia hết cho 2n-1 nữa bạn
Ta sẽ tìm m bằng phương pháp quy nạp:
gọi m là số sao cho $m^{2}\equiv -9 (mod 2^{2^{k}}-1)\Rightarrow m^{2}=(2^{2^{k}}-1)i-9\Rightarrow 2^{2^{k+1}}m^{2}=(2^{2^{k}+2^{k+1}}-2^{2^{k+1}})i-9.2^{2^{k+1}}\Rightarrow (m.2^{2^{k}})^{2}\equiv -9(mod 2^{2^{k+1}}-1)$
áp dụng đồng dư cho phần dư sau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mnguyen99: 29-10-2014 - 19:56
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
#10
Đã gửi 29-10-2014 - 17:29
Ta sẽ tìm m bằng phương pháp quy nạp:
gọi m là số sao cho $m^{2}\equiv -9 (mod 2^{2^{k}}-1)\Rightarrow m^{2}=(2^{2^{k}}-1)i-9\Rightarrow 2^{2^{k+1}}m^{2}=(2^{2^{k}+2^{k+1}}-2^{2^{k+1}})i-9\Rightarrow (m.2^{2^{k}})^{2}\equiv -9(mod 2^{2^{k+1}}-1)$
Đoạn cuối suy ra cái đó chưa rõ cho lắm :-?
#11
Đã gửi 30-10-2014 - 16:20
cả đề làm được mỗi câu này :
dễ cm $u_n$ là dãy nguyên
Gọi $(u_n;u_{n+1})=d$ từ hệ thức truy hồi suy ra $d \in Ư(2014)$
mặt khác từ hệ thức truy hồi ta có $u_{n+1}-u^2_n \vdots 2014$ do đó $u_n\equiv u^{2^{n-1}}_1\equiv 1 (mod 2014)$
từ 2 điều trên suy ra $d$ chỉ có thể bằng $1$ đpcm
Bài này lập luận sai.
$\left ( 2;3 \right )=1;\left ( 3;4 \right )=1;\left ( 2;4 \right )=2$
Có thể làm như sau
Dễ chứng minh $u_{n}\equiv 1\left ( mod2014 \right )\forall n\in \mathbb{N}$
Theo cách xác định dãy thì $u_{n+1}-2014=u_{n}\left ( u_{n}-2014 \right )=u_{n}u_{n-1}\left ( u_{n-1}-2014 \right )=...=u_{n}u_{n-1}...u_{1}\left ( u_{1}-2014 \right )=\prod_{i=1}^{n}u_{i}$
Giả sử tồn tại $i\in \left \{ 1;2;...;n \right \}$ thỏa $\left ( u_{n+1};u_{i} \right )=d> 1$
Khi đó $u_{n+1}\vdots d;\prod_{i=1}^{n}u_{i}\vdots d\Rightarrow 2014\vdots d\Rightarrow \left ( u_{n+1} ;2014\right )=d> 1$ vô lí
Vậy mỗi số hạng sẽ nguyên tố cùng nhau với tất cả số hạng đứng trước nó trong dãy.
Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của dãy nguyên tố cùng nhau.!
Dĩ nhiên $\left ( u_{n} \right )$ là dãy các số tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 31-10-2014 - 16:01
- supermember, 19kvh97, phatthemkem và 2 người khác yêu thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#12
Đã gửi 08-11-2014 - 20:25
Ta sẽ tìm m bằng phương pháp quy nạp:
gọi m là số sao cho $m^{2}\equiv -9 (mod 2^{2^{k}}-1)\Rightarrow m^{2}=(2^{2^{k}}-1)i-9\Rightarrow 2^{2^{k+1}}m^{2}=(2^{2^{k}+2^{k+1}}-2^{2^{k+1}})i-9.2^{2^{k+1}}\Rightarrow (m.2^{2^{k}})^{2}\equiv -9(mod 2^{2^{k+1}}-1)$
áp dụng đồng dư cho phần dư sau.
sai rồi bạn ơi! Đoạn cuối bạn suy ra sai rồi. Bạn đọc kĩ lại xem
- mnguyen99 yêu thích
Nothing is impossible
#13
Đã gửi 09-11-2014 - 08:32
sai rồi bạn ơi! Đoạn cuối bạn suy ra sai rồi. Bạn đọc kĩ lại xem
Dùng fermat để CM bổ đề sau với x,y không cùng chia hết cho ước số nào có dạng 4k-1 thì $x^{2}+y^{2}$ cũng ko có ước dạng 4k-1.
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
#14
Đã gửi 09-11-2014 - 10:46
Dùng fermat để CM bổ đề sau với x,y không cùng chia hết cho ước số nào có dạng 4k-1 thì $x^{2}+y^{2}$ cũng ko có ước dạng 4k-1.
cái đấy là để cm chiều thuận, còn chiều đảo mới khó, cậu thử cm chiều đảo đi
Nothing is impossible
#15
Đã gửi 10-11-2014 - 23:10
-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-
#16
Đã gửi 01-12-2014 - 01:58
tóm lại chưa ai giải đúng bài 1 cả
bài tổ hợp đếm bằng truy hồi cơ bản
bài bất đẳng thức có vài cách khác nữa
bài hàm là bài hay nhất đề
#17
Đã gửi 24-02-2015 - 14:10
Đề thi chọn đột tuyển Hà Nội vòng 2 năm học 2014-2015
Bài 2
Nếu tồn tại $y_{0}$ sao cho $f\left (y_{0} \right )>1$ thì thay $x$ bởi $\frac{y_{0}}{f\left ( y_{0} \right )-1}$ ta có
$f\left ( \frac{y_{0}f\left ( y_{0} \right )}{f\left ( y_{0} \right )-1} \right )f\left ( y_{0} \right )=f\left ( \frac{y_{0}f\left ( y_{0} \right )}{f\left ( y_{0} \right )-1} \right )$. Suy ra $f\left ( y_{0} \right )=1$ (vô lý). Vậy $f\left ( y \right )\leq 1,\forall y>0$
Từ đó ta có $f\left ( y \right )\geq f\left ( x+y \right ),\forall x>0,y>0$. Suy ra $f$ là hàm không tăng
Nếu tồn tại $y_{1}$ sao cho $f\left (y_{1} \right )=1$ thì thay $y$ bởi $y_{1}$ ta có $f\left ( x \right )=f\left ( x+y_{1} \right ),\forall x>0$
Do $f$ là hàm không tăng và tuần hoàn nên $f$ là hàm hằng. Vậy $f\left ( y \right )=1,\forall y>0$
Ta xét $f\left ( y \right )< 1,\forall y>0$. Suy ra $f$ nghịch biến hay $f$ là hàm đơn ánh.
Thay $x$ bởi $\frac{x}{f\left ( y \right )}$ ta có $f\left ( x \right )f\left ( y \right )=f\left ( \frac{x}{f\left ( y \right )}+y \right ),\forall x>0,y>0$
Hoán đổi vị trí $x$ và $y$ ta được $f\left (\frac{x}{f\left ( y \right )}+y \right )=f\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )}+x \right ),\forall x>0,y>0$
Suy ra $\frac{x}{f\left ( y \right )}+y=\frac{y}{f\left ( x \right )}+x,\forall x>0,y>0$
Như vậy $\frac{1-f\left ( y \right )}{yf\left ( y \right )}=k,\forall y>0$ ($k$ là hằng số, $k\neq 0$)
Suy ra $f\left ( y \right )=\frac{1}{1+ky},\forall y>0$
Thử lại 2 hàm trên, ta thấy đều thõa mãn đề bài.
Vậy $f\left ( y \right )\equiv 1$, $f\left ( y \right )\equiv \frac{1}{1+ky}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 24-02-2015 - 14:13
- canhhoang30011999 yêu thích
#18
Đã gửi 03-08-2018 - 20:26
#19
Đã gửi 04-08-2018 - 08:56
sai rồi bạn ơi! Đoạn cuối bạn suy ra sai rồi. Bạn đọc kĩ lại xem