Chủ đề này có 2 trả lời

[quangbinng]

Cho $S$ là một tập con (hữu hạn) của không gian vector $V$ và $U$ là một không gian vector khác. Cho $\varphi: S \rightarrow U$ là một ánh xạ (tập hợp) tùy ý. Liệu có tồn tại hay không ánh xạ tuyến tính $\varphi :V \rightarrow U$ mở rộng $\varphi$ (nghĩa là $\varphi(v)=\varphi(v)$ với mọi $v \in S$) nếu $S$ là một tập sinh.

 

Lời giải: điều kiện cần và đủ để tồn tại là từ bất kì một quan hệ tuyến tính nào giữa các phần tử của $S$ cũng dẫn đến một quan hệ tuyến tính tương ứng giữa các phần tử ảnh quả $\varphi_0$, nghĩa là nếu có $\sum \alpha_is_i=0, s_i \in S$ thì cũng có $\sum \alpha_i \varphi_0(s_i)=0$

 

 

Trước tiên cho em hỏi cái này ạ : ánh xạ $f$ tùy ý :$S\rightarrow U$ thì có  $f(s) \in U, \forall s \in S$ không ạ, tức là có phải mọi phần tử của $S$ đều có ảnh không ạ?

 

Trong phần lời giải, đều kiện cần đương nhiên là phải thỏa mãn, nhưng lúc chứng minh điều kiện đủ, em chứng minh được ánh xạ mở rộng là ánh xạ tuyến tính nhưng lại không dùng đến điều kiện cần ạ ??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 29-10-2014 - 16:13

[Nxb]

Thật sự không hiểu bạn đang hỏi gì. Còn chứng minh cái kia thì ta chỉ cần xây dựng ánh xạ tuyến tính thôi. Sao lại cần điều kiện cần vầ đủ nào đó ở đây. Chứng minh trực tiếp luôn chứ. Bạn xây dựng ánh xạ đó như sau: nếu S=$L(v_1..v_n)$ thì

$$f(\sum x_iv_i)=\sum x_if(v_i)$$

Chứng minh ánh xạ này tuyến tính.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-10-2014 - 22:02

[fghost]

Có 1 điểm dễ bỏ qua ở đây là $S$ chỉ đơn giản là tập sinh của $V$ chứ không phải là 1 cơ sở. Nếu $S$ là 1 cơ sở, thì hiển nhiên. 

 

Vì vậy, để mở rộng từ $f$ lên 1 ánh xạ tuyến tính, bạn cần có điều kiện: mọi cách biểu diễn của 1 phần tử của $V$ bằng các phần tử của $S$ phải "compatible" với ánh xạ $f$.

 

Thí dụ, nếu bạn chỉ dựng $\varphi: V \rightarrow U$ bằng $\varphi(\sum x_iv_i)= \sum x_i f(v_i)$. Ta thấy, nếu 1 phần tử $\alpha$ của $V$ được biểu diễn bằng 2 cách khác nhau $\alpha=\sum x_i v_i$ và $\alpha= \sum y_i v_i$, thì ta cần phải có $\sum x_i f(v_i)= \sum y_i f(v_i)$ (điều không thể xảy ra nếu $S$ là cơ sở).

 

Và điều đó hoàn toàn tương đương với điều kiện mà lời giải đã nói đến.

$$\sum x_i f(v_i)= \sum y_i f(v_i) \Leftrightarrow \sum (x_i-y_i)f(v_i) =0 \Leftarrow \sum (x_i-y_i)v_i=0 \Leftrightarrow \sum x_i v_i=\sum y_i v_i$$

 

(tóm lại, là khi ta định nghĩa $\varphi$, ta định nghĩa dựa trên cách biểu diễn của mọi phần tử của $V$ dựa trên các phần tử của $S$,  $\{x_i\}$, nếu $S$ không phải là cơ sở thì cách biểu diễn $\{x_i\}$ không phải duy nhất, nên để định nghĩa của bạn "có nghĩa" và hợp lệ, thì ta cần mọi biểu diễn $\{x_i\}$ của cùng 1 phần tử, phải cho bạn ảnh như nhau. Và đó là điều kiện đủ mà đề bài cần)