Chủ đề này có 1 trả lời

[Phan Thien]

cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (I). D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ACD

Chứng minh: IE$\perp$CD

[rainbow99]

Ta có 

$\vec{CD}=\frac{1}{2}(\vec{CA}+\vec{CB})=\frac{1}{2}(\vec{IA}+\vec{IB}-2\vec{IC})$

$\vec{IE}=\frac{1}{3}(\vec{IA}+\vec{ID}+\vec{IC})=\frac{1}{3}\left [ \vec{IA}+\frac{1}{2}(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{IC} \right ]=\frac{1}{6}(3\vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC})$

Do đó: $2\vec{CD}.6\vec{IE}=(\vec{IA}+\vec{IB}-2\vec{IC})(3\vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC})$

                                              =$3IA^{2}+IB^{2}-4IC^{2}+4\vec{IA}.\vec{IB}-4\vec{IA}.\vec{IC}$

                                              =$4\vec{IA}.(\vec{IB}-\vec{IC})=4\vec{IA}.\vec{CB}=0$

Như vậy $\vec{CD}.\vec{IE}=0\Rightarrow IE\perp CD$

=>ĐPCM