Tính giới hạn dãy số:
$\lim_{x \to +\infty }\left ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + ... + \frac{2n-1}{2^{n}} \right)$
Tính giới hạn dãy số: $\lim_{x \to +\infty }\left ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + ... + \frac{2n-1}{2^{n}} \right)$
Bắt đầu bởi share_knowledge, 30-10-2014 - 16:47
#2
Đã gửi 30-10-2014 - 19:29
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
Tính giới hạn dãy số:
$\lim_{x \to +\infty }\left ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + ... + \frac{2n-1}{2^{n}} \right)$
Giải.
Đặt $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì bài toán trở thành
$$\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + ... + \frac{2n-1}{2^{n}} \right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} (2i-1)x^{2i-2}$$
Mà
$$\sum_{i=1}^{n} (2i-1)x^{2i-2}=\left ( \sum_{i=1}^{n} x^{2i-1} \right )'=\left ( \frac{x-x^{2n+1}}{1-x^2} \right )'=\frac{1+x^2-(2n+1)x^{2n}+(2n-1)x^{2n+2}}{\left ( 1-x^2 \right )^2}$$
Ta có
$$\left | x \right |<1\Rightarrow \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{n} (2i-1)x^{2i-2}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$$
Vậy $$\lim_{x \to \infty }\left ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + ... + \frac{2n-1}{2^{n}} \right)=3$$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#3
Đã gửi 30-10-2014 - 23:15
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Tính giới hạn dãy số:
$\lim_{x \to +\infty }\left ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + ... + \frac{2n-1}{2^{n}} \right)$
Xét $$x_n-\frac{1}{x}x_n=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}} \right )-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$$
Có $$\lim\limits_{n\to \infty} (x_n-\frac{1}{2}x_n)=\frac{3}{2}$$
Do đó $\lim x_n=3$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
